费岭峰 除法竖式

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1、“形式”探究同样具有思考的价值——对除法“竖式”教学的思考嘉兴市南湖区教研室费岭峰近日，与三年级的几位老师一起研讨人教版教材“有余数除法”一单元的教学时，对例1除法“竖式”的引出教学出现了意见分歧。有老师认为，除法的竖式与加、减、乘三种运算的竖式有比较大的差异，学生较难探究，教学中教师可以直接示范或让学生自学即可。有老师甚至认为，除法的竖式只是一种人为的规定，没有探究的价值，完全可以直接告知学生。老师们的观点，引起了笔者的思考。除法的“竖式”作为一种笔算形式，确实是早已约定俗成的。约定俗成的形式是否就没有探究的价值了呢？如果让学生自主尝试探究，又会产生怎样的

2、探究结果，探究过程的价值又体现在哪里呢？带着这些问题，笔者对人教版教材中加、减、乘、除等四种运算的竖式教学内容进行了解读与研究，认为除法“竖式”是一个相当好的探究点，主要体现在以下三个方面。一、“形式”差异本身就是一个思维节点四则运算的笔算过程——竖式，是人类经过长时期的运算实践后形成的运算过程表达方式，其作为笔算过程的外在表现形式，除了表达相应的运算算理之外，还反映了不同运算的运算特点，体现着人类解决问题的方法意识。以“加法”运算为例：为什么需要用竖式计算加法呢？是因为当数据比较大（如两位数加两位数，甚至多位数加多位数）时，口算产生了困难，也比较容易计算错

3、误，此时便需要有一种既符合算理的，又能正确算出结果的方法来解决。经过一段时间的实践，形成了以十进制位值原则为依据的加法竖式，“相同数位对齐，满十进一”成为了加法笔算的基本法则。其它三种运算同样如此，“竖式”的产生源于运算需要，竖式的形式表达源于对计算过程的合理呈现。15÷35然而众所周知，除法运算的竖式表达与加、减、乘三种运算的竖式表达有着很大的不同。而一般的教材在四则运算的“竖式”教学编排上，采用加、减、乘、除这样的顺序，此时，因为有了加、减、乘三种运算笔算方法的影响，对学生学习除法竖式会产生明显的负迁移。执教过除法“竖式”内容的老师都会发现，让学生自主探

4、究除法竖式时，学生自然会列出叠加的形式。如计算15÷3，让学生尝试，除了不会算的学生之外，其他学生基本都会用叠加的方式来表达（如右图）。当两个数整除时，这样的除法“竖式”表达形式又何尝不可。但我们确实知道，除法的竖式与加、减、乘三种运算叠加式的竖式表达形式存在着明显的差异。笔者以为，正是因为这种差异，是我们组织学生探究除法竖式表达式的思维节点，实践中，需要思考两个方面。1．为什么叠加式的竖式表达式不适合除法运算？这是引导学生体会除法运算与加、减、乘三种运算不同点的重要契机。事实上，加、减、乘三种运算的笔算，都是为了利用10以内运算规律，推广到多位数运算，所采

5、用的对位计算规则的体现。除法竖式同样是利用了对位规则，但除法没有10以内运算规律可推广，所以只能利用乘法计算去进行试算，这就使得除法竖式和乘法竖式在形式上不一样。另外，作为乘法的逆运算，除法竖式里使用的是减法，而不是乘法竖式的加法。理解乘法和除法竖式计算形式的差别，需要抓住两点：第一，除法是乘法的逆运算；第二，乘法的逆运算在整数集里没有完备定义，因此不可能有完整的“除法口诀”，除法是借助乘法试算来完成的。2．怎样的竖式写法才适合除法运算？从上可知，除法的竖式是基于乘法试算的结果。它需要有利于试算的过程表达。另外，我们也知道，无论是加法、减法还是乘法，其计算结

6、果都只需要一个数据来反应即可。例：3215745＋57－65×3899213523÷54在这三个竖式中，32加57的结果89，157减65的结果92，45乘以3的结果135等都表示在叠加式竖式的最底层，而这里的89，92，135已能够精确的表示出这三个竖式计算的最后结果，再复杂的加、减、乘运算都能够通过这样的竖式表达方式来完整的表示出来。而这样的表达方式用在除法里时，却存在一个问题，即最底层的数有时候能够表示除法运算的最后结果，有时候却不能。如计算23÷5，当用叠加式来表达时，最底层的4还不能够精确地表示运算结果。此时，叠加式就显出其局限性了。而且，如果碰到

7、数字比较复杂，需要借助乘法进行试算时，叠加式又没有合适的位置来表达试算的过程。于是，探究一种适合除法本身特点的竖式计算形式就显得很有必要了。二、探究“形式”的过程是一个深刻理解算理的过程除法“竖式”的完整认识，需经历两个层次：一是除法竖式的“引出”，二是连续计算时的“分层”书写。“引出”即是指当用与加、减、乘三种运算的竖式书写形式解决不了除法笔算问题时，学生探寻适合除法特点的竖式书写形式的过程。而“分层”则即指用除法竖式计算时，多步计算中“建造两层，三层，乃至四层、五层的‘楼房’”的表示过程，是理解除法笔算算理的重要步骤。学生正是在探究中，逐步明白“除法竖式

8、为什么与加、减、乘三种运算不同”、“为什么会出现分层