第一讲空间向量的坐标运算教师版

《第一讲空间向量的坐标运算教师版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、第一讲空间向量的坐标运算（教师版）一、空间直角坐标系在空间内作三条相互垂直且相交的数轴,这三条数轴的长度单位相同．它们的交点称为坐标原点．称为轴、轴和轴．一般地，取从后向前，从左向右，从下向上的方向作为轴，轴,轴的正方向（图6．1）．统称为坐标轴．由两个坐标轴所确定的平面，称为坐标平面，简称坐标面．轴，轴,轴可以确定三个坐标面．这三个坐标面可以把空间分成八个部分，每个部分称为一个卦限．其中坐标面之上，坐标面之前，坐标面之右的卦限称为第一卦限．按逆时针方向依次标记坐标面上的其他三个卦限为第二、第三、第四卦限．在坐标面下面的四个卦限中，位于第一卦限下面的

2、卦限称为第五卦限，按逆时针方向依次确定其他三个卦限为第六、第七、第八卦限．（图2）图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定．用右手握住轴,当右手的四个手指从轴正向以的角度转向轴的正向时，大拇指的指向就是轴的正向．　　　　图1　　　　　图2二、空间一点的坐标已知P为空间一点．过点P作三个平面分别垂直于轴，轴和轴，它们与轴、轴、轴的交点分别为A、B、C（图3），这三点在轴、轴、轴上的坐标分别为．于是空间的一点P就唯一确定了一个有序数组．这组数就叫做点P的坐标，并依次称为点P的横坐标，纵坐标和竖坐标．坐标为的点P通常记为．图3例1已知ABCD－A1B1C

3、1D1是棱长为2的正方体，E、F分别是BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标。三、向量的坐标一方面，由向量可以唯一地定出它在三条坐标轴上的投影；另一方面，由又可以唯一地定出向量。这样，向量与有序数组之间建立了一一对应的关系。故可以把向量在三条坐标轴上的投影叫做向量的坐标，将表达式称作向量的坐标表示式。注意：向量的坐标表示式是用花括号{}表示的，不要与空间点的坐标表示式用圆括号()表示相混淆。以为始点及为终点的向量的坐标式可表示成特别地，空间点对于原点的向径为四、两点间的距离公式设为空间内的两个点，所以之间的距离为例2求

4、．解四、向量的直角坐标运算注：例3　已知a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，求a＋b，a－b，8a，a•b。解：a＋b＝（2，－3,5）＋（－3,1，－4）＝（－1，－2,1），a－b＝（2，－3,5）－（－3,1，－4）＝（5，－4,9），8a＝8（2，－3,5）＝（16，－24,40），a•b＝（2，－3,5）•（－3,1，－4）＝－6＋（－3）＋（－20）＝－29例4　在正方体要ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CD的中点，求证：D1F⊥平面ADE证明：不妨设已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz

5、，则又∴D1F⊥AE，又AD∩AE＝A，∴D1F⊥平面ADE小结：①本例中坐标系的选取具有一般性，在今后会常用到，这样选取可以使正方体各顶点的坐标均为非负，且易确定。②原点的坐标为(0,0,0)，x轴上的坐标为(x,0,0)，y轴上的坐标为(0,y,0)，z轴上的坐标为(0,0,z).③要使一向量a＝(x,y,z)与z轴垂直，只要z＝0即可。事实上，要使向量a与哪一个坐标轴垂直，只要向量a的相应坐标为0。例5　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、D1B1的中点，求证EF⊥平面B1AC。分析一：用传统的几何法证明，利用三垂线定理，

6、需添加辅助线。　　证明：设A1B1的中点G，连EG、FG、A1B，则FG∥A1D1，EG∥A1B，∵A1D1⊥平面A1B，∴FG⊥平面A1B，∵A1B⊥AB1，∴EG⊥AB1，由三垂线的逆定理，得EF⊥AB1，同理EF⊥B1C，又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC。　　分析二：选基底，利用向量的计算来证明。　　证明：设＝a，＝b，＝c，则＝(－a＋b＋c)/2＝a＋b＝(－a＋b＋c)/2•(a＋b)＝(b2－a2＋c•a＋c•b)/2＝(

7、b

8、2－

9、a

10、2＋0＋0)/2＝0，，即EF⊥AB1，同理EF⊥B1C，又AB1∩B1C＝B1，∴EF

11、⊥平面B1AC。　　分析三：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数（坐标）的运算，以达到证明的目的。　　证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2),＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(―1,―1,1)＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)＝(―1,―1,1)•(0,2,2)＝0＝(―1,―1,1)•(－2,2,0)＝0∴EF⊥AB1，EF⊥AC，又AB1∩B1C＝B1，∴EF

12、⊥平面B1AC。归纳总结　1、空间直角坐标系的概念2、向量的坐标运算3、实际问题中如何建系五、夹角公式设，，