比较 构造 转化（黄邵华 ）

《比较 构造 转化（黄邵华 ）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、比较构造转化----浅淡由数列递推公式求通项公式的基本思想南宁二中黄邵华《数列》一章的知识是高考必考内容，纵观近几年全国各个省市的高考题型，可以看到由数列的递推公式求通项公式已经成为高考考察数列知识的重点和难点之一。对于较为基础的等差等比数列通项公式以及通过累加法、累乘法求通项公式，学生已经非常熟悉，但通过构造辅助数列来求解通项公式的题型学生还是普遍感到比较困难和困惑。困难在于遇到问题不知该如何下手，觉得毫无头绪，困惑在于即使机械地记忆了一定递推结构下的破解方法，却不知为何这么做，掌握不到解决这类问题的内涵和精髓。本文通过对

2、几类较为常见的构造法求数列通项公式问题的剖析，意在阐述如何通过比较不同递推公式模型结构上的异同，通过构造法将较为复杂的由数列递推公式求通项公式问题转化为常见的较为简单的类型。数列递推公式求通项公式的模型非常多，在此我仅以常见的几种类型为例进行论述：类型一：（是常数）及（是常数）；类型二：（是关于的函数）及（是关于的函数）类型三：（是常数，）类型四：（是常数，）类型五：（是常数，）一、对于类型一和类型二对于类型一，显然是等差（比）数列，学生可以直接利用等差（比）数列公式求和的方法解决；对于类型二，学生也非常熟悉，我们称之为“类

3、等差（比）数列”，可以分别利用累加或者累乘的方法解决，因为此二类问题比较简单，在此就不再赘述。二、对于类型三（是常数）对类型一、二学习过后的学生初次面对类型三时一定会将其跟类型一二进行比较，看看能不能通过学过的知识来解决此类问题（其实这就是学生一种无意识的转化思想），但难点便在于如何转化。将类型三的结构与类型一对比：（），如果没有常数项（或者说常数项为0），那么就是一个等比数列，如果没有系数（或者说系数为1），那么就是一个等差数列。于是引发我们的思考：能否想办法构造一个数列，这个数列在的基础上添加一些项，使得是一个等差或等比

4、数列呢？例1、已知数列满足，且，求数列的通项公式。思路一：尝试“消去常数项”，构造等比数列，转化为类型一。解法一：设，根据待定系数法可得，所以，设，可得，，所以是一个首项为2，公比为2的等比数列，从而将此问题转化为类型一，因此，解得。思路二：尝试“消去的系数”，构造等差数列，转化为类型一。解法二：为了“消去的系数”，并且保证构造数列的稳定性，可以在原式的两边同时除以可得：，设，可得，且。虽然并没有构造出类型一的等差数列的结构，但我们却得到了类型二的结构，通过“累加法”即可解得，从而解得。虽然这道题还有别的方法求解，这两种方法

5、也不一定最快捷，但思路却很明确：对比这种新类型问题与已解决类型问题之间的结构，通过转化的方法，通过不同的手段，将陌生的问题都化归为已经解决的问题。三、对于类型四：（是常数，）对比类型四和前几种类型的异同：与类型一“”相同的是都有不为1的系数，不同的是类型四后面多了有关的一次项和常数项；与类型二“”相同的是都有与有关的函数，不同的是的系数不为1；与类型三“”相同的是都有不为1的系数，且后面都有项，不同的是类型三是常数项，而类型四是指数项。通过三个对比，我们可以尝试从这三个方向进行转化。例2、已知数列满足，且，求数列的通项公式。

6、思路一：“消去一次项和常数项”，构造等比数列，转化为类型一。解法一：设（这里要注意强调不要设，否则构造的新数列就不具备“稳定结构”的特点了），根据待定系数法可得，所以，设，可得，，所以是一个首项为6，公比为2的等比数列，从而将此问题转化为类型一，因此，解得。思路二：“消去系数”，构造“类等差数列”，转化为类型二。解法二：在原式的两边同时除以可得：，设，可得，且，通过“累加法”即可解得，从而解得。思路三：“将一次项化为常数项”，构造类型三解法三：用待定系数法设，解得，从而有，设，则有，从而转化为类型三。但在转化为类型三之后的解

7、法中，我们可以发现通过待定系数法可得，而综合这两个步骤，事实上解法一一步就搞定了。尽管如此，解题过程虽然相对繁琐，但毕竟将这个问题进行了转化和解决，对于头疼于由递推求通项问题的学生来说，也值得欣慰了。当然，如果对思路三进行进一步的探索，我们还可以尝试在原式两边同时除以，虽然可以将“将一次项化为常数项”，得到，但要构造一个具有“稳定结构”的辅助数列，似乎比较困难。四、对于类型五：（是常数，）对比类型五和之前学习过的类型的异同：与类型一“”不同的是类型五后面多了一项指数式；与类型二“”相同的是都有与有关的函数，不同的是的系数不为

8、1；与类型三“”不同的是类型三中是常数项，而类型五中是指数项。这似乎又给我们提供了三种转化的思路。例3、已知数列满足，且，求数列的通项公式。思路一：“消去指数式”，构造等比数列，转化为类型一。解法一：设，根据待定系数法可得，所以，设，可得，，所以是一个首项为，公比为的等比数列，从而将此问题