不该被淡忘的性质

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1、不该被淡忘的性质——角平分线的对称性（陕西师大附中王全710062）对于角平分线，教材中只是指出了“角平分线上的点到两边的距离相等”这一性质，而角平分线的对称性却被淡忘了。然而，与角平分线对称性相关的中考试题却屡见不鲜。因此，我们有必要对角平分线的对称性进行再认识。1、结识角平分线的对称性：没有尺规等工具，请你将如图1所示的角形纸片的角平分线找出来。我们可以让角形纸片的两边重合在一起如图2进行对折，这样折痕就是该角的角平分线。以上的操作足已说明角的两边关于角平分线所在直线对称。下面我们就来体会这一性质的应用。2、

2、角平分线对称性的应用：例1、如图3，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A与∠C互补，求证：AD＝CD.解析：由于BD平分∠ABC，我们可以如图4将AB边沿BD对称到BC边上。证明：在BC上取一点A`，使A`B＝AB，连接A`D，则由BD平分∠ABC得：∠A`BD＝∠ABD，又BD＝BD，∴△A`BD≌△ABD，∴∠BA`D＝∠A，A`D＝AD，∵∠A与∠C互补，∠BA`D与∠CA`D互补，∴∠CA`D＝∠C，∴A`D＝CD，∴AD＝CD。例2、如图5，在△ABC中，已知AD为∠BAC的角平分线，∠C＝2∠B

3、，求证：AB＝AC＋CD.解析：由于AD平分∠BAC，我们可以将AC边沿AD对称到AB边上。第3页共3页证明：在AB上取一点C`，使C`A＝CA，连接C`D，则由AD为∠BAC的角平分线得：∠C`AD＝∠CAD，又AD＝AD，∴△C`AD≌△CAD，∴∠AC`D＝∠C，C`D＝CD，∵∠C＝2∠B，∴∠AC`D＝2∠B，又∠AC`D＝∠B＋∠BDC`∴∠B＝∠BDC`，∴BC`＝DC`，∴AB＝AC`＋BC`＝AC＋CD。例3、图6，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，CD⊥AD于点D，E为BC的中点，求

4、证：。解析：由于AD平分∠BAC，我们可以将AC边沿AD对称到AB边上。证明：在AB上取一点C`，使C`A＝CA，连接C`D，则由AD为∠BAC的角平分线得：∠C`AD＝∠CAD，又AD＝AD，∴△C`AD≌△CAD，∴∠C`DA＝∠CDA＝90°，C`D＝CD，∵∠C`DA＋∠CDA＝180°，∴C、D、C`三点共线，∵C`D＝CD，BE＝CE，∴DE为△CBC`的中位线，∴例4、如图7，四边形ABCD的对角线AC、BD分别平分∠BCD、∠ABC，O为AC与BD的交点，若BC＝AB＋CD，求∠BOC的度数。解析

5、：注意到AC、BD分别平分∠BCD、∠ABC，而公共点为点O，公共边为BC，因此，为了同时利用两条角平分线，我们可以将AB边沿BD对称到BC边上。证明：在BC上取一点A`，使BA`＝BA，连接OA`，则由AC平分∠BCD得：∠ABO＝∠CBO，又BA＝BA`，BO＝BO，∴△BAO≌△BA`O，∴∠AOB＝∠A`OB∵BC＝AB＋CD，BC＝BA`＋CA`，BA＝BA`，∴CA`＝CD又由BD平分∠ABC得：∠OCA`＝∠OCD，CA`＝CD，OC＝OC∴△BAO≌△BA`O，∴∠COA`＝∠COD∵∠AOB＝∠

6、COD，∠AOB＋∠BOA`＋∠A`OC＝180°∴∠BOA`＝∠COA`＝60°，∴∠BOC＝∠BOA`＋∠COA`＝120°第3页共3页例5、如图8，在△ABC中，AD垂直于∠ABC的平分线BD，AE垂直于∠ACB的平分线CE，请判断线段DE与△ABC的三边AB、BC、CA有何关系？并给出证明。解析：由于BD平分∠ABC，我们可以如图9将AB边沿BD对称到BC边上；由于CE平分∠ACB，我们可以如图9将AC边沿BD对称到BC边上；证明：在BC上取一点A`，使A`B＝AB，连接A`D，则由BD平分∠ABC得：∠

7、A`BD＝∠ABD，又BD＝BD，∴△A`BD≌△ABD，∴∠A`DB＝∠ADB＝90°，A`D＝AD，∴∠A`DB＋∠ADB＝180°，∴A、D、A`三点共线，在BC上取一点A``，使A``C＝AC，连接A``E，则由CE平分∠ACB得：∠A``CE＝∠ACE，又CE＝CE，∴△A``CE≌△ACE，∴∠A``EC＝∠AEC＝90°，A``E＝AE，∴∠A``EC＋∠AEC＝180°，∴A、E、A`三点共线，∴DE为△AA`A``的中位线，∴请你在读完以上内容后，把你的思维稍微停一下，再整理一下。并尽量的去体会

8、我们是如何利用角平分线的对称性的，在利用其对称性时，需要注意那些细节，以上的哪些问题你还有别的解法吗？然后，你再动手试一试，看看以下两个题目能否完成？1、动手试一试1）、如图10，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，CE⊥BD于点E，求证：BD＝2CE。2）、如图11，在△ABC中，若∠A＝60°，BD和CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD与CE交于