《三角函数的定义》（人教）

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1、人民教育出版社高中（必修4）畅言教育《三角函数的定义》◆教材分析直角三角形简单朴素的边角关系，以直角坐标系为工具进行自然地推广而得到简明的任意角的三角函数定义，紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然地导出三角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图象和性质。三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身。◆教学目标【知识与能力目标】借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的

2、定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。【过程与方法目标】在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。【情感态度价值观目标】用心用情服务教育人民教育出版社高中（必修4）畅言教育在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。◆教学重难点◆【教学重点】任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等。【教学难点】任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）。◆课前准备◆为了加强学生

3、对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维。◆教学过程一、复习回顾P（a，b）rOM提问：在初中，锐角的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾。引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？设锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限

4、。在的终边上任取一点，它与原点的距离。过作轴的垂线，垂足为，则线段的长度为，线段的长度为。则；；。思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点在用心用情服务教育人民教育出版社高中（必修4）畅言教育的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：；；。思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示。那么，角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题——任意角的三角函数。二、新知探究1、探究：结合上述

5、锐角的三角函数值的求法，我们应如何求解任意角的三角函数值呢？显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为1，然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了。所以，我们在此引入单位圆的定义：在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆。2、思考：如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义？如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：（1）叫做的正弦，记做，即；（2）叫做的余弦，记做，即；（3）叫做的正切，记做，即。注意：当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角

6、函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点，从而就必然能够最终算出三角函数值。3、思考：如果知道角终边上一点，而这个点不是终边与单位圆的交点，该如何求它的三角函数值呢？前面我们已经知道，三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关。我们只需计算点到原点的距离，那么，，用心用情服务教育人民教育出版社高中（必修4）畅言教育。所以，三角函数是以为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数。4、探究：请根据任意角的三角函数定

7、义，将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：三角函数定义域第一象限第二象限第三象限第四象限角度制弧度制5、思考：根据三角函数的定义，终边相同的角的同一三角函数值有和关系？终边相同的角的同一三角函数值相等。即有公式一：(其中)6、例题讲解例1已知角α的终边经过点，求α的三个函数制值。解：变式训练1：已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值。解：，，。例2求下列各角的三个三角函数值：用心用情服务教育人民教育出版社高中（必修4）畅言教育（1）；（2）；（3）。解：（1）sin0=0cos0=1ta

8、n0=0（2）（3）变式训练2：求的正弦、余弦和正切值。例3已知角α的终边过点，求α的三个三角函数值。解析：计算点到原点的距离时应该讨论a的正负。变式训练3：求函数的值域。解析：分四个象限讨论