《 函数的最大（小）值与导数》（人教a版）

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1、人民教育出版社A版高二(选修2-2)畅言教育《函数的最大（小）值与导数》◆教材分析《函数的最大（小）值与导数>>是高中数学人教版版新教材选修2-2第一章第三节，在此之前我们已经学习了导数还有极值，这为我们学习这一节起着铺垫作用。函数最大值与最小值是学生学习了导数的基础上，介绍导数的一个应用。是“函数单调性”及“函数的极值”的后继内容。既体现了教材的循序渐进，也体现了学习数学的实际应用。这是目前教学改革的一个方向：即增加应用性，学以致用。让学生了解学习数学的实际应用。◆教学目标【知识与能力目标】1.使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数在闭区间上所有点（包括端点）处的

2、函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；2.使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤。【过程与方法目标】培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。【情感态度价值观目标】培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神；体会数学中的局部与整体的辨证关系。用心用情服务教育人民教育出版社A版高二(选修2-2)畅言教育◆教学重难点◆【教学重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法。【教学难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系。◆课前准备◆多媒体课件。◆教学过程一．创设情景我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内

3、的性质。也就是说，如果是函数的极大（小）值点，那么在点附近找不到比更大（小）的值。但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小。如果是函数的最大（小）值，那么不小（大）于函数在相应区间上的所有函数值。二．新课讲授观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象。图中与是极小值，是极大值。函数在上的最大值是，最小值是。1．结论：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值。说明：⑴如果在某一区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，则称函数在这个区间上连续。（可以不给学生讲）⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间

4、内连续的函数不一定有最大值与最用心用情服务教育人民教育出版社A版高二(选修2-2)畅言教育小值。如函数在内连续，但没有最大值与最小值；（3）在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，（4）函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件。（可以不给学生讲）2．“最值”与“极值”的区别和联系⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性。⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；[来源:学#科#网Z#X#X#K]（3）函数在其定义区间上的最大值、最

5、小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值。3．利用导数求函数的最值步骤:[来源:学。科。网Z。X。X。K]由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了。一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求在内的极值；⑵将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值三．典例分析例1．（课本例5）求在的最大值与最

6、小值解：由例4可知，在上，当时，有极小值，并且极小值为，又由于，用心用情服务教育人民教育出版社A版高二(选修2-2)畅言教育因此，函数在的最大值是4，最小值是。上述结论可以从函数在上的图象得到直观验证。例2．求函数在区间上的最大值与最小值解：先求导数，得令＝0即解得导数的正负以及，如下表X-2（-2,-1）-1（-1,0）0（0,1）1（1,2）2y/－0＋0－0＋y13↘4↗5↘4↗13从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4四．课堂练习1．下列说法正确的是()A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上

7、的连续函数一定存在最值2．函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x)()A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能3．函数y=，在［－1，1］上的最小值为()A.0B.－2C.－1D.4．求函数在区间上的最大值与最小值。五．回顾总结1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；用心用情服务教育人民教育出版社A版高二(选修2-2)畅言教育2．函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条