1.数与式教案

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1、初高衔接教材数与式第一讲数与式在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数，用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形

2、，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．一、乘法公式【公式1】平方差公式：【公式2】完全平方公式：【公式3】完全立方公式：【公式4】（完全平方公式）证明：.等式成立【例1】计算：解：原式=说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．【公式5】(立方和公式)证明:.【公式6】(立方差公式)证明：.【例2】计算：（1）（2）（3）（4）解：（1）原式=.（2）原式=.（3）原式=.（4）原式=.说明：在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．-4-初高衔接教材数

3、与式【例3】已知，求的值．解：原式=说明：本题若先从方程中解出的值后，再代入代数式求值，则计算较烦．本题则根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．引申：补充：已知且，则的值为（）A.2或-2B.-2C.D.2二、指数式当时，.当时，1.零指数，2.负指数.3.分数指数为正整数).幂运算法则：.【例4】求下列各式的值：，，解:；；．【例5】计算下列各式：⑴；⑵．解:⑴；⑵．三、根式式子叫做二次根式，其性质如下：(1)(2)(3)(4)如果有，那么叫做的次方根，其中为大于的整数．-4-初高衔接教材数与式当n为奇数时，，当n为偶数时

4、，.【例6】化简下列各式：(1)(2)解：(1)原式=(2)原式=说明：请注意性质的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)(2)(3)解：(1)原式=(2)原式=(3)原式=.说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(如)或被开方数有分母(如)．这

5、时可将其化为形式(如可化为)，转化为“分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如化为，其中与叫做互为有理化因式)．四、分式当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1)利用除法法则；(2)利用分式的基本性质．【例8】化简解法一：原式=-4-初高衔接教材数与式解法二：原式=说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．【例9】化简解：原式=.说明：(

6、1)分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2)分式的计算结果应是最简分式或整式．-4-