第1讲：数形结合法与数学建模思想(初三)

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1、决胜中考—2014学生九数(春季班）数学思维训练第1讲：数形结合法与数学建模思想（8份）★1数形结合法：是数学中的重要思想方法之一，特点是通过几何图形、函数图像更直观的展示位置关系与数量关系；求解这类问题的关键是把“形”、“数”相结合与相互转化。在初中学习范围内十分重要，它为高中、大学等后续学习奠定基础，也是中考每年必考的一种思想方法，涉及的题型、题量的分值配备高达30多分。★2数学建模：是初中数学中解决一些同类变式题型的基本方法，广泛应用于三角函数、列方程解应用题、相似三角形、图形变换等知识，加强对常见数学模型的识记，有助于学生对所学知识进行系统归类，增强识图与应用数

2、学的能力。★★3数形结合法在初中范围内的运用★1、代数问题通过构造几何图形给予解决【例1】当代数式取最小值时，相应的的取值范围是；【例2】已知，，,且＋恒成立，则的最小值等于【例3】请计算：（1）、tan=(2)、sin=【例4】如图,为线段上一动点,分别过点、作，，连接、，已知,,,设。(1)用含的代数式表示的长；(2)请问点满足什么条件时,的值最小?EDCBA(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式的最小值.◎变式议练一：1、若，，且，则有理数，，，的大小关系是；2、在平面直角坐标系中，已知A(-1，-2),B(4,2),C(1,m),当m=时，CA+CB有

3、最小值。3、4、函数的最小值是★★2、几何问题的代数解法【例5】将边长分别为2、3、5的三个正方形按如图方式排列，则图中阴影部分的面积为．【例6】⊙是的内切圆，与边、、的切点分别为、、，,，,则，，。6没有比脚更长的路，没有比人更高的山，望子成龙助你走向人生的辉煌！决胜中考—2014学生九数(春季班）数学思维训练◎变式议练二：1、的斜边为13，面积为30，则两直角边的和等于。2、已知AB是半径为1的⊙的弦，AB的长是方程：的一个根，则∠AOB的度数是。★★★3在平面直角坐标系中的广泛运用【例7】（黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足．（

4、1）求点、点的坐标．（2）若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，连结．设的面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．【例8】已知点A,C都在双曲线：上，点B,D都在x轴上，⊿AOB,⊿BCD都是等边三角形，则点D的坐标是◎变式议练三：关于x的方程：有且只有两个不同实根，则a的取值范围是★★★★4初中数学常见数学模型及其运用★基本模型1：等腰三角形中，为底边上任意一点，，，。结论：证明思路：（1）面积恒等法（2）截长补短法6没有比脚更长的路，没有比人更高的山，望子成龙助你走向人生的辉煌！决胜中考—2014学生九数(春季班）数学思维训练【例

5、9】在中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G，一等腰直角三角形按如图所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B。（1）在图中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，让后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到如图位置时，一条仍与AC在一条直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E，此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度,猜想并写出DE、DF与CG之间满足的数量关系，让后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到如图所示的位置（点F

6、在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否成立？◎变式练习四：1、等边三角形边长为4，则该三角形内任意一点到三边的距离之和为。2、如图：在矩形中，已知，，是边上任意一点，于，于，那么的值为；★基本模型2：“”型，“”型，斜射影模型若：若：若：则：；则：；则：；【例10】（重庆）如图：正方形中，是延长线上的一点，交于，交对角线于，如，。求的长。6没有比脚更长的路，没有比人更高的山，望子成龙助你走向人生的辉煌！决胜中考—2014学生九数(春季班）数学思维训练【例11】如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB。

7、（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；（2）若AD=6，AE=，求BC的长；◎变式练习五：如图，平行四边形中，，、是的三等分点，延长线交于，延长线交于，则；★基本模型3：【例12】已知如图，正方形与正方形边长均为。是正方形的中心，正方形绕点旋转，求两个正方形重叠部分（图中阴影）的面积。结论：1、；2、阴影正方形◎变式练习六：1、（变换基本图形中一个）把正方形换成足够大的矩形，圆心角为的扇形，直角三角形时，上述结论仍然成立。2（德州中考题）如图：已知中，，，直角的顶点是的中点，两边、分别交、于点、，给出以下五个结论：①、；②、；③、是等