《7.1.2 分步乘法计数原理》教案

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1、《7.1.2分步乘法计数原理》教案分步乘法计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1·m2·…·mn种不同的方法.分步计数原理的应用例2　有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法?(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限.【思维引导】可以根据报名过程，使用分步

2、计数原理.【解答】(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的选法，由分步计数原理知，共有36=729种不同的报名方法.(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步计数原理得，共有6×5×4=120种不同的报名方法.(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步计数原理得，共有63=216种不同的报名方法.【精要点评】利用分步计数原理解决问题：(1)要按事件发生的过程合

3、理分步，即分步是有先后顺序的；(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.两个计数原理的综合应用例3　如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为　　　　.(例3)【思维引导】染色问题是常见的计数应用问题，可从选颜色、选顶点进行分类、分步，从不同角度解决问题.【答案】420【解析】方法一：可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步计数原理即可得出结论.由题设

4、，四棱锥S-ABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3=60种染色方法.当S，A，B染好时，不妨设其颜色分别为1，2，3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法.可见，当S，A，B已染好时，C，D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7=420(种).方法二：以S，A，B，C，D顺序分步染色.第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，B点染色，与S，A分别在同一条

5、棱上，有3种方法；第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法.由分步、分类计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3+2×2)=420(种).方法三：按所用颜色种数分类.第一类，5种颜色全用，共有种不同的方法；第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×种不同的方法；第三类，只用3种颜色，则A与C，

6、B与D必定同色，共有种不同的方法.由分类计数原理，得不同的染色方法种数为+2×+=420(种).【精要点评】在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同时应用两个计数原理，在解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步.(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类计数原理求和，得到总数.(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方

7、法来帮助分析.变式　电视台工作人员在“欢乐在今宵”节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有30封，乙箱中有20封.现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，有多少种不同结果?【解答】(1)幸运之星先在甲箱中抽取，选定幸运之星，再在两箱内各抽一名幸运观众有30×29×20=17400(种).(2)幸运之星先在乙箱中抽取，选定幸运之星，再在两箱内各抽一名幸运观众有20×19×30=11400(种).由分类计数原理知共有17400+11400=288

8、00种不同结果.