如何认识圆锥曲线的特殊性质

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1、如何认识圆锥曲线的特殊性质一、关于椭圆的最远点、最近点：[问题1]：设点M（x，y）是椭圆（>>0）上一点，F1、F2是椭圆的左右焦点，求证：

2、MF2

3、≤证：（法1）（利用椭圆的定义及平面几何知识）∵

4、MF1

5、+

6、MF2

7、=2∴

8、MF1

9、=2-

10、MF2

11、①又∵

12、

13、MF2

14、-

15、MF1

16、

17、≤2∴-2≤

18、MF2

19、-

20、MF1

21、≤2②由①与②可得：2-2≤2

22、MF2

23、≤2+2∴-≤

24、MF2

25、≤+当点M在左端点A1时，∣A1F2

26、=+是最大值，即点M相对于F2为最远点；当点M在右端点A2时，

27、A2F2

28、=-是最小值，即点

29、M相对于F2为最近点；证：（法2）（利用椭圆的第二定义）设椭圆的离心率为，点M（x，y）是椭圆上任一点，则

30、MF2

31、/（）=

32、MF2

33、=（）=-/∵-≤≤∴当点M在左端点A1时，∣A1F2

34、=+是最大值，即点M相对于F2为最远点；当点M在右端点A2时，

35、A2F2

36、=-是最小值，即点M相对于F2为最近点.证：（法3）（利用参数方程）设点M（x，y）是椭圆上任一点，F2（，0）为右焦点，则有

37、MF2

38、===当=-1时，点M在左端点A1处，即

39、MF2

40、=∣A1F2

41、=+是最大值，即点M相对于F2为最远点；当=1时，

42、点M在右端点A2处，即

43、MF2

44、=

45、A2F2

46、=-是最小值，即点M相对于F2为最近点.结论：这里的最远点或最近点是就左、右焦点而言，左焦点的最远点是长轴的右端点，最近点是长轴的左端点，右焦点的最远点是长轴的左端点，最近点是长轴的右端点。[应用]在天文学方面的应用，如卫星绕地球运动的轨道就有最远点、最近点。二、“情侣”曲线——椭圆与双曲线细心的读者，你会发现，数学奥妙无穷，深入探索和研究椭圆和双曲线，会发现它们之间有一种非常有趣的性质：性质1：若双曲线C1的弦PQ和实轴AB所在直线垂直，则直线AP与直线BQ的交

47、点的轨迹是以已知双曲线C1的实轴为长轴、虚轴为短轴的椭圆C2。性质2：若椭圆C2的弦PQ和长轴AB垂直，则直线AP与直线BQ的交点的轨迹是以已知椭圆C2的长轴为实轴、短轴为虚轴的双曲线C1。证明：（性质1）不妨设双曲线C1的方程为：（a>0,b>0）则它的两个顶点A（–a,0），B（a,0），如图2-1所示∵PQ⊥AB∴设P（），Q（）则直线AP的方程为：①直线BQ的方程为：②由①②得：③又∵点P在双曲线上∴④把④代入③并化简得：即为所求的椭圆C2的方程，故结论成立。性质2的证明与性质1的证明完全类似，略。性

48、质1与性质2的应用：[例题1]设F1、F2分别为椭圆C：=1（a>b>0）的左、右两个焦点：（1）若椭圆C上的点A（1，）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点F1、F2的坐标；（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k1、k2时，那么k1、k2之积是与点P位置无关的定值，试对双曲线=1写出类似特性的性质，并加以证明。解：（1）由椭圆的定义知

49、：2=4=2∵点A（1，）在椭圆C：=1上，∴=∴∴F1（–1，0），F2（1，0）∴椭圆C的方程为：（2）设K（x1,y1）是（1）中椭圆C上的动点，线段F1K的中点Q（x，y），由中点坐标公式得：，∴∴所线段F1K的中点的轨迹方程是：（3）类似性质为：若M、N是双曲线：=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k1、k2时，那么k1、k2之积是与点P位置无关的定值。证明：设点（），则点（），且又设点P（），由将，代入上式并化简得：（定值）性质得证。三、“姊妹”

50、双曲线：1、定义：双曲线方程形如以下四个的曲线称之为“姊妹”双曲线①②③④2、方程的关系：（1）方程①与②：是将实轴与虚轴互换而得到的一对双曲线，它们又称为共轭双曲线；（2）方程①与③：是将方程①中的x、y互换，就得到方程③，这两条双曲线关于直线y=x对称，也可以看作将双曲线①绕着原点旋转90º而得到，所以称为转置双曲线；（3）方程①与④：把方程①中的分母互换就可以得到方程④，因此双曲线④可以看成是把双曲线①的共轭双曲线转置90º而得到，故称为共轭转置双曲线。图示关系如下：①转置②转置共轭转置转置③转置④3、

51、性质：“姊妹”双曲线同样具有一般双曲线所具有的性质，略。