动量与动量矩

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1、第三章动量和动量矩 （一）动量定理牛顿自己在叙述牛顿第二定律时，不用加速度来表示，而是用的动量．他将质点的质量与质点的速度的乘积定义为质点的动量，我们把它记作．按定义（3．l）动量K是矢量，以速度的指向为其指向，动量的大小则等于质量与速率的乘积．在古典力学的适用范围内，质点的质量是常数，因而牛顿第二定律可表为（3．2）这是牛顿本人所采用的第二定律表达式，我们称它为质点动量定理的微分形式．质点受到其他物体的作用力，则动量发生变化，质点动量的时间变化率就等于其他物体施于该质点的力．为了研究力的时间累积效果

2、，即力施加于质点而经历一段时间间所产生的效果，将上述动量定理对时间积分一次．(3.3)这里与指质点在t1时刻的速度与动量，与则是t2时刻的，I为冲量，定义为（3．4）式（3．3）即（3．5）这称为动量定理的积分形式．冲量是矢量，对于不变的力，．如果力随时间而变，在短时间中力的变化还是很微小的，因而极短时间内的冲量也可以认为就是力与作用时间的乘积．积分形式的质点动量定理，特别适宜于研究冲击作用对质点运动的影响．因为冲击作用历时极为短暂，质点在这短暂的时间内是来不及显著移动的，即它的位置几乎没有改变．但质

3、点的动量却由K1变为K2，速度由变为。而这种改变只取决于冲量I这个总的效果，无需深究力F随时间变化的细致情况．这样，冲击作用对质点运动的影响完全可以用它的冲量表明．假如用或微分形式的动量定理来研究冲击作用，就不得不考察力在短暂时间内的急剧变化情况，这无疑是很不方便的．若质点受的力F为零，此时I也等于零，则，（3.6）如果质点不受其他物体作用，则动量不随时间而变，此即动量守恒原理．动量定理是矢量方程，应用时可写成分量式．这样，如果质点所受的力，但F的某个分量，例如分量守恒，虽然动量K本身并不守恒．（二）

4、质点组的动量定理质点组由N个质点组成，组内成员之间的互相作用力叫内力，质点组以外的物体对质点组内的质点的作用力叫外力．对质点组来说，如果写出每一个质点的运动方程来求解那是很困难的．我们通过质点组的动量定理对它的运动总趋向加以研究。1.质组的质心每个质点组都有一个质心，它的质量是整个质点组质量之和，它的位置坐标为（3．7）如果质点组不是很大，组内各质点所受的重力都可以认为是竖直向下且互相平行的，那么质点组的质心就与它的重心相重合。2．质心运动定理将各个质点的动量定理相加．因为内力都是成对出现的，大小相等

5、方向相反，作用在质点组内不同的质点上，相加后即互相抵消，因此可得质心运动定理．（3．8）式中表示第i个质点受到的外力，是质心的加速度．质心运动定理说明了质点组质心的运动情况，也即是表明了这个质点组运动的总趋向．它也可以表为质点组的动量定理（3．9）式中K是质点组的总动量，（3。10）为各质点动量的矢量和．这是质点组动量定理的微分形式．将上式积分一次可得质点组动量定理的积分形式（3．11）质点组动量的改变，等于组内各质点在这段时间内所受外力冲量的矢量和．3.质点组的动量守恒原理如果作用于质点组的外力矢量

6、和为零，则（3．12）或（3．13）这就是质点组的动量守恒原理．至于质点组内各个质点的动量则不一定守恒，但它们的矢量和，即质点组的总动量则保持不变．此时，质心运动定理为（3．14）即，质心动量守恒，我们从质心的定义可以看出质心的动量就是质点组的总动量．三）动量矩定理下面研究质点相对于某一根指定的直线的运动，这根直线称为“轴线”．这时着重的是力矩而不是力．1．力对于轴线的力矩 图3－1力F对轴线AB的力矩等于力F在垂直于轴线的平面S中的投影F⊥再乘以其与轴线AB的垂直距离d（一般称之为力臂）．如果力F本

7、身就在与AB垂直的平面内，力矩就等于F乘以F与AB的垂直距离d。力F对轴线AB的力矩记为，⊥（3．15）通常按右手法则来规定力矩的指向，将右手的四指捏成拳状以表示力矩驱使物体转动的趋势，伸直的大拇指的指向即力矩的指向2．对于轴线的动量矩和动量矩定理（1）质点与轴连结．如果质点与轴AB相连结，则质点必在垂直于AB的平面内作圆周运动．质点所受外力对AB轴的力矩为（3．16）是质点的动量，R是动量与轴AB间的垂直距离．仿照力矩，我们将与R的乘积称为质点对于AB轴的动量矩（角动量），即（3.17）这就是动量矩

8、定理．（2）转动惯量．将上式中的以质点绕轴转动的角速度表示（3.18）称为质点对AB轴的转动惯量，记为IAB，则动量矩定理（3．17）即（3．19）式中是质点绕轴转动的角加速度，这与牛顿第二定律多么相似！从这类比中还可以看出，与相对应，反映绕轴转动的惯性，所以称为转动惯量．（3）质点并不与轴连结． 图3－2所讨论的质点并不与轴AB连结，也不一定是绕轴转圈，只是相对于轴来研究质点的运动情况．为了方便，取AB为直角坐标系的Z轴．如质点的动量在平面内，它相对于