Weil猜想：数论问题中的几何方法

《Weil猜想：数论问题中的几何方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、数苑讲堂Weil猜想：数论问题中的几何方法申屠钧超数学探索讲座类似于哈佛等大学的“TrivialNotionSeminar”．目的是为数学研究生建立一个能够交流学习和探索中的心得体会的平台．报告人是来自不同方向的研究生，主要讲他们在学习和研究中遇到的有趣的数学理论和结果．该讲座在学生中引起了热烈反响．摘要本文以Weil(韦伊)猜想为例，讲述了现代代数几何如何提供了看待经典数论问题(特别是Diophantus(丢番图)方程)的新观点．1．引言微分几何作为一门悠久的学问，为理解实数世界和复数世界的方程的解集提供了强大的几何工具，该理论的发展有很多精彩的综述，在此不再赘述．然而在

2、数学中有另一个世界被数域和数环(比如Q和Z)中的方程所控制．这个看似离散的世界吸引了几千年来的数论学家．其中典型的是贯穿了算术几何发展的Fermat(费马)最后问题：+Y=Z(n3)是否存在非平凡整数解?这只“会下金蛋的鸡”曾一度引领了数论的发展方向．现代代数几何(自Grothendieck(格罗滕迪克)之后)吸取了微分几何以及拓扑学的思想，为数域上的世界建立了系统的几何理论．它告诉我们，表面离散的世界实际有非常丰富的几何结构．这个理论的核心是“概形”(scheme)的概念，它通过几何点(geometricpoint)展现了Diophantus方程解局部上丰富的世界图景．由

3、于技术上的困难，本文中我将避免使用“概形”这个概念，改用尽量初等的数学来介绍数论几何理论中经典的Weil猜想．选取这个内容有两个原因：其一，Weil猜想是Grothendieck建立概形理论最大的动机之一；其二，猜想本身出现在概形理论之前，所以可以用稍初等的语言来讲清．下面是我们故事的开始．数百年前，Gauss(高斯)建立了模p技巧：如要求解z上的方程组，首先模去P到有限域Z／pg．例如，由于Y=X。一X一1在Z／3Z中无解，故它在z中也无解．这种方法对任何数域上的方程都适用．因为给定一个数域F，我们总可以考虑对应代数整数环OF中的素理想p，将方程模p．因为此时OF／p总是

4、有限域．故而Gauss的方法可以概括为为了探测数域的世界，第一步是分析其在有限域中的情形．这是作者于2014年12月16日在中国科学院数学与系统科学研究院数学研究所“数学探索讲座”上的报告．作者是中国科学院数学与系统科学研究院的博士研究生．版权所有④2014中国科学院数学与系统科学研究院数学研究所．所有权利保留．．65·然而这些有限域上图像在多大程度上揭示了原来的世界，这仍然是算术几何远未解决的问题．比如：对于数域F上何种方程组，它在所有位(place)上有解推出它在F上有解?所谓“位”包含OF的有限点(素理想)和无穷远点(F到或c的嵌入，但是以c的复共轭映射复合成的域同态

5、看成是同一个无穷远点)，而方程组在一个位上有解是指模p完备化后或者在对应或C上的方程有解．这个问题被称作Hasse(哈塞)原则问题，因Hasse在1921年证明了上述问题对二次方程成立而得名．本文中我们只关心在有限域上的代数方程组．2．有限域上的一个计数问题有限域上一个自然的算术问题是：给定有限域F。和多项式组，l⋯．，∈FqIx1⋯．，]，解的个数N(fl⋯．，，r)={z∈F；：fl(x)一-=()=0)是多少?以最简单的情形r=1为例，给定f∈[Xl⋯．，]，若，是非零线性的，那么显然有：N(f1=q一．对一般的_厂，倘若我们把(，)={X∈F：，()=0}看做F中的

6、一张超曲面，则它几乎每点的局部上(这里假想v(f)是如同复流形一样的几何对象，当然这是不严格的)看起来就像中的开集，那么应当有估计N(f1q一．事实上，我们记Md为所有次数不大于d的多项式构成的空间．取Ⅲ'×Md上的万有多项式F(x，n)=∑n，lId考虑以下两个投影V(F)Fqlp·Md注意到p的纤维由线性方程给出，所以Pl的纤维总是有#fiAd／q个点．因此V(F)=Mdq一．下面考虑投影P2，则f∈Md处的纤维是方程，的解集．故徉(F)：∑Ⅳ(．厂)，，∈M．66．因此N(f)=Md．q一．fE．A／gd从而N(d)的平均值为q一．这是个初等的估计，本文要讲述的Wei

7、l猜想给出了具体N(f)的误差项．3．Weil猜想A．Weil是20世纪具有深刻洞察力的法国数学家，他在二战期间对有限域上方程解的个数做了详细研究后，提出了影响20世纪下半叶的Weil猜想．熟悉几何的Weil立刻看出了他的猜想(以及他对一些例子的证明)揭示了有限域上方程组应当蕴含一种几何结构，这种几何结构允许一种类似于奇异上同调的上同调理论．这一深刻的洞察激发了Grothendieck对代数几何的热情，建立了庞大的概形理论．为了叙述Weil猜想的内容我们需要介绍一些代数几何的术语．3．1射影代数簇首先我们对任意代数