第3章 静态电磁场分析02

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1、3.4静态场的边值问题◇静电场和恒定电场的边值问题，可归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程。积分法分离变量法解析法镜像法、电轴法微分方程法保角变换法计算法••••有限差分法有限元法数值法边界元法边值问题矩量法研究方法实测法模拟电荷法实验法••••模拟法数学模拟法物理模拟法定性作图法••••定量图3.4.1边值问题研究方法框图直接法--分离变量法解析法◇常用的方法间接法--镜像法数值法有限差分法边值问题微分方程边界条件2ρ场域分界面自然∇ϕ=−ε边界条件衔接条件边界条件2∇ϕ=0ϕ=ϕ12参考点电位ε∂ϕ1−ε∂ϕ2=−ρlimrϕ=有限值12s

2、r→∞∂n∂n第一类第二类第三类边界条件边界条件边界条件已知场域边界已知场域边界一、二类边界上各点电位值上各点电位条件的线性组的法向导数合，即合，ϕ=fs()ϕ=f(s)s111S1∂ϕ∂ϕ=f(s)(ϕ+)=fs()∂n2∂ϕ3图3.4.2边值问题框图S∂n=Sfs2()2∂nS2惟一性定理在每一类边界条件下泊松方程或拉普拉斯方程的解都是惟一的。◇惟一性定理的意义：∂ϕ◇1、边值问题具有唯一性的条件：ϕs或s已知∂n◇2、为求解边值问题提供了理论依据◇3、判定求解结果的正确3.5镜像法几个实例:1、位于接地导体板附近的点电荷产生的电位2、位于接地导体球附

3、近的点电荷产生的电位困难：感应电荷难于求出解决困难的方法：镜像法镜像法原理：1.目的：把原问题中包含典型边界的场的计算问题化为无限大均匀媒质空间中的问题求解，使问题得到简化。2.基本思路:在求解区域外的适当位置,放置虚拟电荷等效替代分界面上导体的感应面电荷或媒质的极化面电荷的作用,分界面对空间的电位由虚拟电荷等效后,取消分界面对问题进行求解.该虚拟电荷称镜像电荷3.理论依据:唯一性定理关键:镜像电荷的选择4.镜像电荷选择原则1)镜像电荷必须位于求解区域之外2)镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件5.适用范围:镜像法只适用于一些特殊边界---平面、球面、柱

4、面3.5.1平面镜像1.点电荷对无限大接地导体平面边界的镜像设无限大接地导体平面（z=0）附近有一点电荷q，与导体平面的距离为z=h，求上半空间的电位。原问题:在z=h处有一点电荷q边界条件:ϕ=0z=0zP•+qR等效问题:假设导体平面不存在，在z=0平面hR'下面与点电荷q对称地放置一个电量ϕ=0为-q的点电荷，仍能保证z=0的平面h电位为零。−qzPR则在z>0区域中任意一点P的电位•+qq⎛11⎞hϕ=⎜−⎟R'4πε⎝RR'⎠0ϕ=0⎧⎫q⎪⎪11⎪⎪h=⎨−⎬114πε0⎪⎡222⎤2⎡222⎤2⎪x+y+(zh−)x+y+(zh+)−q⎪⎩⎣

5、⎦⎣⎦⎪⎭面上感应电荷:(z≥0)�ρ=•nDˆ=D=εEsnn∴q=ρdsin∫ss∂ϕ∂ϕ=−ε=−ε∞∞−qh00∂n∂z=dxdyz=0∫∫−∞−∞2(πx2+y2+h23/2)−qh==−q2223/22(πx+y+h)镜像电荷电量与导体面上感应电荷电量相等2.点电荷对相交半无限大接地平面导体边界的镜像要满足在导体平面上电位为零,•q则必须引入3个镜像电荷。π对于非垂直相交的两导体平面构成的边界,若夹角为θ=n则所有镜像电荷数目为2n−1个.zP3.线电荷对无限大接地平面导体边界的镜像R•ρlρ′=−ρ,z′=−hllhR'ϕ=022ρx+(z+

6、h)lϕ(xyz,,)=ln(z≥0)h2πεx2+(z−h)2ρ′l3.5.2导体球面的镜像1.点电荷对接地导体球面的镜像一半径为a的接地导体球，在与球心O相距d的P点有一点电荷q1，求球外的电11位分布。◇球外区域任意一点的电位由点电荷和导体球表面的感应电荷决定。◇在求解区域外（球内）用一点电荷q2（像电荷）代替球面上感应电荷的影响。◇像电荷的位置及大小由以下原则决定:点电荷与像电荷的共同作用应使球面的电位为零。Pr(,,)θφ采用球坐标系，取原点为球心O点，Z轴与oP重合，则球外任意点Pr(,,θφ)rR1R21处有aP2Poq112q2221R1=

7、(r+d−2rdcosθ)1d′R=(r2+d′2−2rd′cosθ)22d1⎛qq⎞ϕ=⎜1+2⎟球外任意一点P的电位4πε⎝RR⎠0121⎛qq⎞ϕ=⎜1+2⎟4πε⎝RR⎠0121⎡qq⎤=⎢1+2⎥4πε⎣r2+d2−2rdcosθr2+d′2−2rd′cosθ⎦0由于球面上的电位为零,有1⎡qq⎤⎢1+2⎥=04πε⎣a2+d2−2adcosθa2+d′2−2ad′cosθ⎦0由此得22222222(a+d)q−(a+d′)q−2cos(aθdq−dq′)=02121222222⎧⎪(a+dq)−(a+d′)q=021⇒⎨22⎪⎩2cos(aθd

8、q−dq′)=021⎧aq=−q⎪21q=−q⎪d⎧21联立求解得