二进小波变换 2

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1、二进小波变换－－－－对连续小波变换的频域抽样连续小波变换的缺点：f(t)⇔t一维信号被变换到二维空间中www.518duanxin.cn短信群发二进小波的基本思想：�连续小波变换将一维信号变换到二维变换域上，从而有大量的信息冗余量。W(f)(b,a)ψ00W(f)(b,a)ψ11W(f)(b,a)包含了一个时频空间窗口中f的信息。ψ抽样方法的思考：�为完成对频域的分割，应对时间刻度a抽样，其准则为：a)方法简单，高效。b)保留f(t)的全部信息。抽样方法的分析：�对频域的分割必须是不重叠，完全的。1.(0,+∞)=∪A

2、jj∈Z2.Ai∩Aj=Φi≠j抽样方法的分析：�窗口的宽度与其中心频率相适应。（二进制划分）+∞jj+1即(0,+∞)=∪(2∆ψˆ,2∆ψˆ]j=−∞W(f)(b,a)ψj+1W(f)(b,a)ψjW(f)(b,a)ψj−1t抽样方法的分析：�问题：怎样确定时间刻度参数a的样本值{aj},使：**ω1ω1jj+1(−∆ψˆ,+∆ψˆ]=(2∆ψˆ,2∆ψˆ]aaaajjjj抽样方法的分析：由于ψ的频率中心可以移动，而不影响ψ的基本性质。*我们可以假设:ω=3∆ψˆ**ω1ω124(−∆ψˆ,+∆ψˆ]=(∆ψˆ,∆

3、ψˆ]aaaaaajjjjjj抽样方法的分析：−(j−1)取：a=2则j**ω1ω124(−∆,+∆]=(∆,∆]ψˆψˆψˆψˆaaaaaajjjjjjjj+1＝(2∆,2∆]ψˆψˆ二进小波的定义：2函数ψ∈L，称为二进小波。若存在两个常数00其中ψ＝2ψ(2(t−b))jj二进小

4、波稳定性条件的另一种表述：∞22ψ22Af≤∑Wjf≤Bf∀f∈L−∞定理：令ψ满足二进小波的稳定性条件，则ψ满足：∞2ψˆ（ω）Aln2≤∫dω,ω0∞2ψˆ（−ω）∫dω≤Bln2ω0即：ψ是一个基小波。当A=B时，有：∞2ψˆ（ω）C＝dω＝2Aln2ψ∫ω－∞定理的证明：由稳定性条件：∞2−jA≤∑ψˆ(2ω)≤B−∞∞2−j∑ψˆ(2ω)AB−∞≤≤(ω>0)ωωω∞2−j22∑ψˆ(2ω)2AB−∞∫dω≤∫dω≤∫dωωωω111定理的证明：+∞2ψˆ(ω)Aln2≤∫dω≤Bln2ω0同样，用−ω除并在

5、（−2,−1)上积分，可得到：+∞2ψˆ(−ω)Aln2≤∫dω≤Bln2ω0定理的证明：合并上面两式，+∞2ψˆ(−ω)∫dω≤+∞ω−∞二进小波的重构问题：ψ由二进小波，f(x)→{W(f)(b)}。jψ反过来，是否能存在一种方法，由{W(f)(b)}j重构f(x)?*我们希望:能找到一族函数{Ψj(x)},使ψ*f(x)=∑Wj(f)(b)*Ψjj二进小波的重构问题：*进一步，我们希望ψ(x)也是一个二进小波。∞∞ψj*jf(x)=∑∫Wj(f)(b)(2ψ(2(x−b))dbj=－∞－∞∞∞^^1ψ*−jixω

6、=∑∫(Wj(f)(ω))(ψ(2ω))edωj=－∞2π－∞二进小波的重构问题：∞∞^1−j*−jixω=∑∫fˆ(ω)ψˆ(2ω)(ψ(2ω))edωj=－∞2π－∞∞∞1−j*−jixω=∫fˆ(ω)(∑ψˆ(2ω)ψˆ(2ω))edω2π－∞j=−∞二进小波的重构问题：*只要我们适当的选择ψ,使：∞−j*−j∑ψˆ(2ω)ψˆ（2ω）＝1j=−∞∞∞1−j*−jixω则：=∫fˆ(ω)(∑ψˆ(2ω)ψˆ(2ω))edω2π－∞j=−∞∞1ixω=∫fˆ(ω)edω＝f(x)2π－∞二进小波的重构问题：为了使：

7、∞−j*−j∑ψˆ(2ω)ψˆ（2ω）＝1j=−∞∆ψˆ(ω)*取：ψˆ(ω)=+∞2−i∑ψˆ(2ω)i=−∞二进小波的重构问题：∞−j*−j∑ψˆ(2ω)ψˆ（2ω）j=−∞∞−j−jψˆ(2ω)=∑ψˆ(2ω)(+∞)2j=−∞−i−j∑ψˆ(2(2ω))i=−∞∞−j−j∑ψˆ(2ω)ψˆ(2ω)j=−∞==1+∞2−j∑ψˆ(2ω))j=−∞定理：∞2−jψ是满足稳定性条件：A≤∑ψˆ(2ω)≤B−∞*的二进小波，前面定义的ψ也是一个二进小波。且∞1*−j21≤∑ψˆ(2ω)≤B−∞A定义：~2一个函数ψ∈L

8、称为二进小波ψ的一个二进对偶，当2且仅当对∀f(x)∈L，有：∞∞ψj~jf(x)=∑∫Wj(f)(b)(2ψ(2(x−b))dbj=－∞－∞�注：一个二进小波的二进对偶不一定是唯一的。