计算方法_课后习题答案

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1、计算方法习题答案王新民术洪亮编2012/5/1082第一章习题答案1.已知，求的插值多项式。解：由题意知：2.取节点对建立型二次插值函数，并估计差。解821.已知函数在处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。解：（1）采用Lagrange插值多项式其误差为（2）采用Newton插值多项式根据题意作差商表：一阶差商二阶差商04216.252.52932.设，试列出关于互异节点的插值多项式。82注意到：若个节点互异，则对任意次数的多项式，它关于节点满足条件的插值多项式就是它本身。可见，当时幂函数关于个节点的插值多项式就是它本身，故依公式有特别地，当

2、时，有而当时有1.依据下列函数表分别建立次数不超过3的插值多项式和插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。012419233解：（1）Lagrange插值多项式===82=（1）Newton插值多项式一阶差商二阶差商三阶差商00111982223143343-10由求解结果可知：说明插值问题的解存在且唯一。1.已知由数据构造出的插值多项式的最高次项系数是6，试确定。解：==82==中最高次项系数为：1.设，试利用余项定理给出以为节点的插值多项式。解：由Lagrange余项定理可知：当时，2.求作关于节点的插值多项式，并利用插值余项定理证明式中为关于节点的插值基函数。

3、解：注意到关于节点的插值多项式为其插值余项为据此令即得。82附加题：设为关于节点的插值基函数，证明证明：据题4可知，令，则有。注意到（证明见王能超数值简明教程145页题6）令即有。1.已知，求差商和。解：根据差商与微商的关系，有2.已知互异，求。其中。（此题有误。）（见王能超《教程》P149－题2）解：因为，则由差商性质可知，821.设首项系数为1的n次式有n个互异的零点，证明证明：按题设，有表达式故原式左端注意到上式右端等于关于节点的阶差商（见第10页2.1式）利用差商与导数的关系（见2.11式）得知13．设节点与点互异，试对证明并给出的插值多项式。解依差商的定

4、义，一般地，设82则故的插值多项式为14．设是任意一个首项系数为1的n+1次多项式，试证明其中。。解：(1)由题意，可设，由Lagrange插值余项公式得(2)由(1)式可知，8215．给定数据表：1023构造出函数的差商表，并写出它的三次插值多项式.解：利用Newton插值公式：先作出差商表一阶差商二阶差商三阶差商01313/213/41/22031/61/3325/3-2/3-5/3-2故：16.求作满足条件的插值多项式。解法1：根据三次Hermite插值多项式：并依条件，得82解法2：由于，故可直接由书中（3.9）式，得17．设充分光滑，，求证证明：显然，满

5、足条件的插值多项式由于故18．求作满足条件的插值多项式，并估计其误差。解法1：由已知条件0121293用基函数方法构造。令其中，均为三次多项式，且满足条件82依条件可设，由可得：同理，误差为：解法2：用承袭性构造由条件先构造一个二次多项式作差商表：一阶差商二阶差商001112122973于是有：令所求插值多项式利用剩下的一个插值条件，得由此解出故有8218．求作满足条件的插值多项式。并给出插值余项。解：令利用插值条件定出：注意到这里是三重零点，是单零点，故插值余项为19．求作次数的多项式，使满足条件并列出插值余项。解法1：由于在处有直到一阶导数值的插值条件，所以它

6、是“二重节点”；而在处有直到二阶导数值的插值条件所以是“三重节点”。因此利用重节点的差商公式：可以作出差商表一阶二阶三阶四阶00111－1－1000－21101039206115根据Newton插值多项式，有82且插值余项为18．设分段多项式是以为节点的三次样条函数，试确定系数的值。解：由可得即解得19．根据给定的数据表12324121-1建立一个三次样条插值函数。解：由已知作差商表0121242231283节点等距82第二章习题答案1.计算下列函数关于的：注：，82解：（1）（2）（3）（4）821.令，试证是在上带权的正交多项式，并求。解：是在上带权的正交多项

7、式。2.是区间上带权的最高次项系数为1的正交多项式族，其中，求。解法一：解法二：设，则由3.求，使积分取得最小值。82解：题意即为在中求的最佳平方逼近多项式，故满足法方程或者按下述方法：因为上式分别对求偏导，并令其为零，有从而也有，1.对，定义问它们是否构成内积？（1）推出,即为常数，但不一定为0，故（1）不构成内积。82（2）显然内积公理的1），2），3）均满足，考察第四条若，则必有反之，若，则且，由此可推得,即内积公理第四条满足，故（2）构成内积。1.对权函数，区间，试求首项系数为1的正交多项式。解：2.利用正交化方法求上带权的前三个正交多项式。解：821.判

8、断函数在上