《数列的递推公式（选学）》课件1

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1、2．1.2数列的递推公式(选学)373n3n＋3an＋31．数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的公式．它前一项an－1(或前几项)递推2．通项公式与递推公式的区别与联系区别联系通项公式项an是的函数an＝f(n)可以确定数列递推公式已知a1及的关系式序号n相邻项间1．若分别用通项公式与递推公式求{an}中的第100项，哪一个更快捷？【提示】用通项公式a100＝f(100)更快捷，而用递推公式时，必须依次递推求得a1，a2，a3，…，a99才能得

2、到a100，递推的过程不能间断．2．仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N＋)能否确定式个数列？若又已知a1＝1呢？【提示】仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2，只能知道相邻两项的差an－an－1＝an－1－an－2＝…a3－a2＝a2－a1＝2，却无法确定这个数列；若又已知a1＝1，则可以确定这个数列为1,3,5,7，…，2n－1，….已知数例{an}满足a1＝10,3an＋1＝an＋2(n∈N*)，写出该数列的前4项．【思路点拨】由首项及递推公式逐项求解．由递推公式求数列中的某一项时，必须将其前面的项依次一一求出，不能间断

3、，更不能直接求得所求的项．【解析】(1)由递推公式an＋1＝2an＋1及a1＝1，得a2＝3，a3＝7，a4＝15，a5＝31.∴数列的前五项分别为1,3,7,15,31.∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.1．叠加法【思路点拨】用叠加法结合裂项相消法求解由递推关系求通项公式时，若能将递推关系转化成形如an＋1＝an＋f(n)的形式，且f(n)可求和，则可用本例的叠加法求通项公式．2.仿照本例将例1的变式训练改为先求通项公式，再求第五项．2．累乘法已知数列{an}中，a1＝1，(n＋1)·an＝n·an＋1，求{an}的通项公式．【思路点拨】先将

4、递推公式变形，再用累乘法(或迭代法)．如果递推关系可以变形为an＋1＝g(n)·an的形式，且g(n)能够求积，则可用累乘法求数列的通项公式．3.已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前5项，猜想an，并加以证明．【解析】由a1＝2，an＋1＝2an得a2＝2a1＝2×2＝4＝22，a3＝2a2＝2×4＝8＝23，a4＝2a3＝2×8＝16＝24，a5＝2a4＝2×16＝32＝25，…猜想an＝2n(n∈N＋)．方法二：(迭代法)由an＋1＝2an得an＝2an－1，an－1＝2an－2，…，a3＝2a2，a2＝2a1，∴an＝2an

5、－1＝2(2an－2)＝22·an－2＝22(2an－3)＝23·an－3＝…＝2n－1·a1＝2n(n∈N＋)．1．数列的通项公式与递推公式的作用(1)通项公式的作用数列的通项公式是给出数列的主要形式．如果已知数列的通项公式an＝f(n)，只要用1,2,3，…代换公式中的n，就可以求出这个数列的各项与指定项．另外，根据通项公式，结合函数的性质，可以进一步探讨数列的增减性，数列的项的最大值或最小值．(2)递堆公式的作用数列的递堆公式是给出数列的另一重要形式．一般地，只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各

6、项．当考察数列中项与项间的关系时，由递推公式比较直接．(3)数列的通项公式与递推公式一般可以相互转化．可根据需要选择不同的表示法．如数列1,3,5，…，2n－1，…的一个通项公式为an＝2n－1(n∈N＋)，用递推公式表示为a1＝1，an＝an－1＋2(n≥2，n∈N＋)．2．由数列的递推公式求通项公式的常用方法(1)叠加法当an－an－1＝f(n)满足一定条件时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1叠加．3．数列的单调性的判定方法判断一个数列的单调性，可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行，通常转化为判

7、断一个数列的任意相邻两项之间的大小关系来确定．(1)作差比较法①若an＋1－an＞0恒成立，则数列是递增数列；②若an＋1－an＜0恒成立，则数列是递减数列；③若an＋1－an＝0恒成立，则数列是常数列．已知数列{an}，a1＝a(a＞0，a≠1)，an＝a·an－1(n≥2)，定义bn＝an·lgan，如果数列{bn}是递增数列，求a的取值范围．【答案】B2．已知数列中，a1＝1，an＝an－1＋1(n≥2)，则通项公式为()A．an＝1B．an＝2n－1C．an＝nD．an＝n＋1【答案】C【答案】13