《数列的递推公式（选学）》课件2

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1、2.1.2数列的递推公式(选学)【课标要求】1．理解递推公式是数列的一种表示方法．2．能根据递推公式写出数列的前n项．3．掌握由一些简单的递推公式求通项公式的方法．【核心扫描】1．准确理解递推公式的含义．(难点)2．由递推公式求通项公式．(重点)自学导引递推公式如果已知数列的(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．试一试：有人要走上一个楼梯，该人每次能向上走一个阶梯或两个阶梯，我们用an表示该人走到第n个阶梯时所有可能不同走法的种数，请推

2、导an的递推关系式．第一项前一项an－1提示容易看到a1＝1，走上第二个阶梯的方法有连续走两次(即每次走一个阶梯)或一次走上两个阶梯，故有a2＝2.设上n级楼梯具有an种不同走法，当第一步上一级时，余下n－1级楼梯，有an－1种不同的走法；当第一步上两级时，则余下n－2级楼梯，有an－2种不同的方法．∴an＝an－1＋an－2，且a1＝1，a2＝2(n≥3)．想一想：已知数列{an}的关系式an＝an－1＋3(n≥2，且none＋)，能否确定这个数列？提示仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋3，只能知道相邻两项的差是3，即an－a

3、n－1＝3，an－1－an－2＝…＝a3－a2＝a2－a1，但无法确定这个数列，因为不知{an}中的某一项，若已知a1＝1，则可以确定数列为1,4,7,10，…，3n－2，….名师点睛1．递推公式的理解与应用(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项．(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．(4)运用递推法给出数列，不容易了解数列

4、的全貌，计算也不方便，所以我们经常用它得出数列的通项公式或者得到一个特殊数列，比如具有周期性质的数列．2．数列的通项公式与递推公式的作用和联系通项公式递推公式作用通项公式是给出数列的主要形式，由通项公式可求出数列的各项及指定项，也可以解决数列的性质问题(如增减性，最值等).数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．由递推公式可以依次求出数列的各项．联系数列的通项公式与递推公式可以相互转化，如数列1,3,5，…，2n－1，…的一个通项公式为an＝2n－1(n∈N*)．用递推公式表示为a1＝1，an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)[思路探

5、索]依次代入计算．规律方法(1)根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．(2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．【变式1】已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m，n∈N*都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2.求a3，a5.解由题意，令m＝2，n＝1则a3＋a1＝2a2＋2，所以a3＝6，令m＝3，n＝1则a5＋a1＝2a3＋2×4，所以a5＝20.题型三　数列与函数的综

6、合【例3】已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：数列{an}是递减数列．审题指导本题是数列与函数的综合问题，借助于方程思想求通项公式．【题后反思】数列是一类特殊的函数，用函数与方程的思想处理数列问题．在判断数列{an}的单调性时，可以用作差法或作商法．解(1)a1＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(1)＝2.a2＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(3)＋f(1)＋f(2)＝1＋3＋a1＝6.a4＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(

7、16)＝86.(2)an－1＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2n－1)an＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2n)＝f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(2n－1)＋f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(2n)＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2n－1)∴an＝an－1＋4n－1(n≥2)．误区警示　忽略n＝1，出现错误【示例】已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，求an的通项公式．[错解]∵an＝Sn－Sn－1＝3n－2－(3n－1－2)＝2·3n－1∴{an}的通项公式为an＝2×3n－1.