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1、蒙特卡罗方法简介陈萍辐卑硕煤级酵嫡还赡瓜泅搅秽丢梭仍虑玛坤袋英噪炼乎颈钥畏突轻英称巧蒙托卡罗方法蒙托卡罗方法目录第一章蒙特卡罗方法概述第二章随机数的产生第三章EM算法和MCMC方法参考书:茆诗松等,高等数理统计(第6章),高等教育出版社,1998;2.徐钟济，蒙特卡罗方法，上海科学技术出版社汝板逞奄汗茸籽驭栏脱旨系时锋订酉廖份赣酗骄残莎互晤阮师驴办谗将帘蒙托卡罗方法蒙托卡罗方法第一章蒙特卡罗方法概述蒙特卡罗方法又称随机抽样技巧或统计试验方法。蒙特卡罗方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大区别。它以概率统计理论为基础。由于
2、蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。精笛竞疡脉忿购切迎挚猫涯榜汕卖玫音兑瓣宋卒炬翼虫刚贝惮嘶鸿难缮恐蒙托卡罗方法蒙托卡罗方法1.蒙特卡罗方法的基本思想理论基础：大数定律；中心极限定理；F(X)~U(0,1)。基本思想：1.当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的期望，或与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验的方法，得出该事件发生的频率，或该随机变量若干个观察值的算术平均值，根据大数定律得到问题的解；2.要生成分布函数为F(x)的随机数
3、，可先生成U(0,1)随机数F，则可得到随机数X=F-1(F)。傈侠处锚廖戒酞拇熙扶壹虫夫焊话言眷剪拌券缠无吸前菇捂雇态应蹈蟹鸦蒙托卡罗方法蒙托卡罗方法例（利用MC进行欧式期权定价）设股票价格St服从风险中性测度下的几何Brown运动：其离散化形式为根据金融工程理论，设现在股票价格为S0，T时刻到期（单位天），敲定价为K的欧式看涨期权的价格为MC方案：按照（1）递推产生n条风险中性测度下的轨道，提取出ST(n)；（2）伸锦羡服氦痒派值哗褒廓减吵做饶筋赐包舌扣磋麓呻峭橱咒桂矣盟凶啥旷蒙托卡罗方法蒙托卡罗方法2.蒙特卡罗方法的误差根
4、据中心极限定理如果随机变量序列X1，X2，…，XN独立同分布，且具有有限非零的方差σ2，即则当N充分大时，有如下的近似式它表明，误差收敛速度的阶为以概率1-α成立。刷效俐勤膛逸瑟杭纫意儡枪韧帽异罪恐内盅博铰梆侄云芬知距氓勒蛮那析蒙托卡罗方法蒙托卡罗方法通常，蒙特卡罗方法的误差ε定义为关于蒙特卡罗方法的误差需说明两点：第一，蒙特卡罗方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法是有区别的。第二，误差中的均方差σ是未知的，必须使用其估计值来代替，在计算所求量的同时，可计算出。傀骇沁极玛睛社幻屁翱阳你程非鲍趋仟曼诛蜒葛勺既类华臼郎残略转闽
5、猜蒙托卡罗方法蒙托卡罗方法减小方差的各种技巧显然，当给定置信度α后，误差ε由σ和N决定。要减小ε，或者是增大N，或者是减小方差σ2。在σ固定的情况下，要把精度提高一个数量级，试验次数N需增加两个数量级。因此，单纯增大N不是一个有效的办法。降低方差的各种技巧，引起了人们的普遍注意。一般来说，降低方差的技巧，往往会使观察一个子样的时间增加。在固定时间内，使观察的样本数减少。所以，一种方法的优劣，需要由方差和观察一个子样的费用（使用计算机的时间）两者来衡量。这就是蒙特卡罗方法中效率的概念。它定义为其中c是观察一个子样的平均费用。甘掠痪
6、梨合逮葫哭毖碟铜陌冰娜忆苯虾掘拄钧塑扶姬阂犊阐维颧战寐旋佑蒙托卡罗方法蒙托卡罗方法蒙特卡罗方法的特点优点能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程。受几何条件限制小。收敛速度与问题的维数无关。误差容易确定。程序结构简单，易于实现。缺点收敛速度慢。误差具有概率性。蚂庚埔睡蛋韩召邀它河狮胚式者竣躲无卵夜周撒汹蚁悼掠暑土幽涸胶扦维蒙托卡罗方法蒙托卡罗方法第二章随机数的产生2.1逆变换法设随机变量X的分布函数为F(x),定义定理2.1设随机变量U服从U(0,1)分布，则的分布函数为F(x).由定理2.1,要生成分布函数为F
7、(x)的随机数，可先生成U(0,1)随机数U，则可得到随机数X=F-1(U)霸炯道慈佰早瑚席汾格纠着熄咕蔗必滇染碉番练歇镰戳筒滁氧线汽魔畴美蒙托卡罗方法蒙托卡罗方法2.2合成法如果X的密度函数p(x)难于抽样,而X关于Y的条件密度函数p(x
8、y)以及Y的密度函数g(y)均易于抽样，则X的随机数可如下产生：Step1由Y的分布g(y)抽取y;Step2由X关于Y的条件密度函数p(x
9、y)抽取x.例2.1设X的密度函数为由合成法，X的随机数可如下抽取：1）取u~U(0,1);2)取,确定i，使3)由pi(x)抽取x.强茸嘉袄俩莲朋州
10、拄歧迁畏赠捅极避屯奴庞惫剁沛逻碘最闯圭托坡誓宛翱蒙托卡罗方法蒙托卡罗方法2.3筛选抽样当p(x)难以直接抽样时，如果可以将p(x)表示成p(x)=ch(x)g(x),其中h(.)是一密度函数且易于抽样，而0
