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《数理统计课件 4.3 非参数假设检验方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§4.3非参数假设检验方法前面介绍的各种统计假设的检验方法，几乎都假定了总体服从正态分布，然后再由样本对分布参数进行检验。但在实际问题中，有时不能预知总体服从什么分布，从而就需要根据样本来检验关于总体分布的各种假设，这就是分布的假设检验问题，也称为非参数假设检验。2本节主要介绍χ拟合优度检验，柯尔莫哥洛夫—斯米尔诺夫（Kolmogrov-Smirnov）检验和独立性检验。一、2χ拟合优度检验21.多项分布的χ检验法设总体X是仅取m个可能值的离散型随机变量，不失一般性，设X的可能值是1,2,?,m,且mP(),1Xipi===i,2,,?m且∑pi=1.i=1设T(,,
2、XX?X)是从总体X中抽得的简单随机样12nT本，(,,xx?x)是样本观察值。用N表示样本12niT(,,XX?X)中取值为i的个数，即样本中出现事件12nT{}X=i的频数，则N是样本的函数，所以(,,,)NN?N是i12mm随机向量，且有∑Nni=.i=1可证明T(,,,)NN?N服从多项分布，其概率分布为12mn!nnnP(,,NnNnNn==??,)==ppp12,m,(4.21)1122mm12mnn!!?n!12m需要检验假设H::ppHppi=↔≠=(1,2,?,m),00ii10ii其中p是已知数。i0检验的统计量?我们知道，频数是概率的反映。如果总
3、体的概率分布的确是(,,,)pp?p，那么当观察个数n愈来愈大时，1020m0NN频率i与ip之间的差异将越来越小，因此频率与pi0i0nn之间的差异程度可以反映出(,,,)pp?p是不是总体的1020m0真分布。卡尔⋅皮尔逊首先提出运用统计量m2()Nn−p2ii0χn=∑（4.22）i=1npi0N来衡量i与p之间的差异程度，这个统计量称为皮尔逊i0n统计量。直观上比较清楚，如果(,,,)pp?p是总体服从的1020m02真实概率分布，统计量χ要偏小些，否则就有偏大的趋n势。因此2χ可以用来作为多项分布的检验统计量。但是n还需要知道它的分布，下面的定理给出了它的渐
4、近分布。定理4.1当H为真时，即(,,,)pp?p是总体的真实01020m02概率分布时，由式（4.22）定义的统计量χ渐近服从自n2由度为m−1的χ分布，即m2⎧⎫()Nn−pxii02limPx⎨⎬∑<=∫χ(,ym−1)dy,x>0,（4.23）n→∞np0⎩⎭i=1i0mx−3⎧1−⎪xex22,0>m−12⎪2m−1其中χ(,xm−=1)⎨2()Γ⎪2⎪⎩0,x≤02是χ(1m−)的分布密度函数。定理4.1的证明从略。2由定理4.1知，当n充分大时，可以近似地认为χ近n22似服从χ(1m−)分布。对给定的检验水平01<α<，由χ分布表求出常数2χ(1m−)，
5、使α22Pn{χn≥−≈χαα(1).}TT给定一组样本值(,,,)xx?x，对应的(,,,)NN?N12n12m的值为T2(,,,)nn?n，由式（4.22）计算出χ的观察值12mnm2()nn−pˆ2ii0.χn=∑i=1npi0如果ˆ22(1)χχ≥−m，则拒绝假设H，即认为总体的分布与nα0ˆ2ˆ2(1m)假设H中的分布有显著差异；若χ<χ−，则接受0ααH，即认为总体的分布与假设H中的分布无显著差异。00例5.10将一颗骰子投了120次，结果如下：点数：1，2，3，4，5，6.频数：21，28，19，24，16，12.问这颗骰子是否匀称？(0α=.05)解:
6、依题意，欲检验假设11Hp::=↔Hp≠=(i1,2,?,6),01ii66计算得111222(21120−×)(28120−×)(19120−×)ˆ2666χ=++n111120×××120120666111222(24120−×)(16120−×)(12120−×)+++666111120×××120120666=8.1.对2ˆ22α=0.05，查附表3得χ(61)−=11.07.因为χ<χ(5)，0.05n0.05故接受假设H，即认为这颗骰子是匀称的。0当总体X不具有多项分布，但其分布函数F()x具有明确表达时，设X,,,XX?是来自F()x的样本，欲检验12n
7、假设H:()FxFx=()（F()x是某个已知的分布）。000为此，选取m−1个实数−∞
