03.曲线曲面的绘图基础

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1、第三章自由曲线曲面的数学描述本章主要内容3.1曲线曲面描述的基本原理3.2Bezier曲线问题的提出：自由曲线曲面数学描述的研究内容?由离散点来近似地决定曲线和曲面——即通过测量或实验得到一系列有序点列，根据这些点列构造出光滑曲线或曲面，以直观地反映出实验特性、变化规律和趋势等。3.1曲线曲面描述的基本原理曲线曲面的分类规则曲线曲面——由已知曲线或曲面的简单数学方程所生成的曲线曲面称为规则曲线曲面自由曲线曲面——无法用数学方程描述的曲线曲面称为自由曲线曲面自由曲线曲面数学描述的基本原理给定一些参考点以及一些参考函数，产生

2、一系列曲线小段或小曲面片。自由曲线可以由一系列的曲线小段连接而成，自由曲面可以由无数个小的曲面片拼合而成。在曲线曲面描述中常用的三种类型的点特征点——用来确定曲线曲面的形状，但不一定经过该点型值点——用来确定曲线曲面的形状，曲线曲面经过该点插值点——为了提高曲线曲面的精度，在型值点之间插入的点定义曲线曲面的方法（1）插值——给定一组精确的数据点，要求构造一个函数，使之严格地依次通过全部型值点且满足光顺的要求常用的插值函数为多项式线性插值y=ax+b抛物线插值y=ax2+bx+c三次插值多项式y=ax3+bx2+cx＋d

3、yyy=f(x)y=f(x)y=ϕ(x)y=ϕ(x)yy2y1y2y31oxxxoxxxx12123(a)(b)（2）逼近——用特征点构成的特征多边形来定义和控制曲线曲面的方法（3）拟合——对于一组具有误差的数据点，构造一个函数，使之在整体上最接近这些数据点而不必通过全部数据点，使所构造的函数与所有数据点的误差在某种意义上最小最常用的拟和函数有最小二乘法（4）光滑——从数学意义上讲，光滑是指曲线和曲面具有至少一阶的连续导数（5）光顺——通俗含义指曲线的拐点不能太多，曲线拐来拐去，就会不顺眼对平面曲线而言相对光顺的条件是：a.具

4、有二阶几何连续性（G2）b.不存在多余拐点和奇异点c.曲率变化较小连续性条件参数连续性几何连续性假定参数曲线段p、p以参数形式进行描述：ijp=p(t)t∈[t,t]iii0i1ppt=()t[t,t]∈jjj0j1a.参数连续性0阶参数连续性——记作C0连续性，是指曲线的几何位置连接，即：pt()=pt()ii10jj1阶参数连续性——记作C1连续性，指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的一阶导数pt()=pt()ii10jjpt′′()=pt()ii10jj2阶参数连续性——记作C2连续性，指两个相邻曲线段的方程

5、在相交点处具有相同的一阶和二阶导数pt()=pt()ii10jjpt′′()=pt()ii10jjpt′′()=pt′′()ii10jj(a)0阶连续性(b)1阶连续性(c)2阶连续性b.几何连续性0阶几何连续性——记作G0连续性，与0阶参数连续性的定义相同，满足pt()=pt()ii10jj1阶几何连续性——记作G1连续性，指一阶导数在相邻段的交点处成比例pt()=pt()ii10jjpt′′()=αpt()ii10jj2阶几何连续性——记作G2连续性，指相邻曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比例pt()=pt()ii10j

6、jpt′′()=αpt()ii10jjpt′′()=βpt′′()ii10jj曲线的表示形式（1）非参数表示a.显式表示yfx=()y=kxb+b.隐式表示fxyz(,,)=022ax+++++=bxycydxeyf0曲线非参数表示的缺点与坐标轴相关会出现斜率为无穷大的情况（垂线）对于非平面曲线、曲面难以用常系数的非参数化函数表示不便于计算和编程（2）参数表示xxt=()yyt=()t∈[ab,]zzt=()规范参数区间t∈[0，1]例：已知直线段的端点坐标分别是P(1,2)，P(4,3)，12求此直线段的参

7、数表达式。pt()=+−PPPt121()t∈[0,1]xt()=+−x121(xxt)t∈[0,1]yt()=+−y121(yyt)xt()=+13tt∈[0,1]yt()=+2tpt()=[1,2]+∈[3,1]tt[0,1]为什么采用参数多项式曲线？表示最简单理论和应用最成熟定义--n次多项式曲线nxt()=+⋅++⋅xxtxt01nnyt()=+⋅++⋅y01ytytnt∈[0,1]nzt()=+⋅++⋅zztzt01na.矢量表示形式1xt()xx01xn

8、tpt()=yt()=y01yyn=CTt∈[0,1]zt()z01zznnt加权和形式npt()==+++CTm01mtmtnt∈[0,1]缺点：m没有明显的几何意义i与曲线的关系不明确，导致曲线的形状控制困难b.