半连续动力系统理论及应用

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1、第34卷第2期玉林师范学院学报（自然科学）Vol.34No.22013年JOURNALOFYULINNORMALUNIVERSITY(NaturalScience)“半连续动力系统”理论及应用1，2□陈兰荪（1．中国科学院数学与系统科学研究院，北京100080；2．福建师范大学闽南科技学院，福建泉州362332）[摘要]本文简单介绍“高维半连续动力系统”的基本性质与基本理论，叙述“高维半连续动力系统”的定义，“流”、“轨线”的性质，轨线的极限集合，轨线的各种稳定性概念，周期轨道及稳定性等一些基础知识，为

2、对这问题有兴趣者作个入门的参考.[关键词]高维半连续动力系统；状态脉冲反馈控制；解的极限集合；周期轨道；稳定性[中图分类号]O19[文献标识码]A[文章编号]1前言常我们见到用于描述运动动力学的是“连续动力学系统”，我们以X记为在n维度量空间中的一通紧单连通空间，以Ⅱ记在空间X内的一个连续可微映射群，x为空间X中的一个点，π为连续可微映射群Ⅱ中的一个映射，t为参数，称为时间.x称为初始点.定义1若满足下列三个条件，则称(X,Ⅱ)是一个“连续动力学系统”：(1)对于任一点x0，有π(x0,0)=x0；(2

3、)π(x,t)分别关于x和t连续；(3)任意的x∈X，x,t∈R，都有π(π(x,t),s)=π(π(x,t+s).但是人们常常要对某些动力学行为按照人们的需要加之于人为的控制.例如人造飞行器，人们要求飞行器按照设计的轨道飞行，然而难免飞行器在飞行时会在某时刻运行的“状态”偏离原设计的轨道的“状态”，这时人们就给飞行器加之个控制手段，使之回到原设计的轨道，这就是“状态反馈控制”.如果这个控制手段是“脉冲的”，那么就是我们要研究的“脉冲状态反馈控制系统”.在日常生活中我们会[1]遇到许多类似的“脉冲状态反

4、馈控制系统”.例如，农田害虫综合防治、微生物培养等.2半连续动力系统的定义定义2由以下状态脉冲微分方程定义的动力系统(X,Φ；M,I)，称为半连续动力系统.dx=f(x)……x*dt∈M(1)+x=I(x)……x∈M∪{n-1其中X为一紧单连通空间，Φ为由方程（1）定义的映射π(x,t)对所有x∈X总体集合，若点集合MR，I(x)为在M中连续映射，且有∪n-1I(x)∶M→N，NRM为脉冲集，N为相集，I(x)为脉冲函数.记{+{+π(x,I)=,π(x,t)，I=(0,+∞)，t<+3[收稿日期]20

5、12-10-23[基金项目]国家自然科学基金项目（11171284）资助。[作者简介]陈兰荪（1938～），男，福建浦域人，中国科学院数学与系统科学研究院研究员、教授、博士生导师。主要研究方向：生物数学。2{+{+π(x,t)称为起始点为x的正半轨，记为M(x)=π(x,I)∩M+引理1设半连续动力系统(X,Φ；M,I).对每一个x∈X且x∈M，如果M(x)≠○，那么存在一正数s，0

6、周期解，周期为s相应的轨道π(x)称为阶1周期环.下面我们进一步考虑半连续动力系统轨线分类.由引理1，可定义函数{:X→(0,+∞)s,π(x,s)∈M，π(x,t)∈M，0

7、∈M，I k1(x)∈M，j=0,1,…,k-1.1111从而在区间[0,s0]上π(x,t)，0≤t

8、2，当s0