(理)a层《2.2.2间接证明--反证法》教案

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1、全品高考网gk.canpoint.cn1.教学目标:知识与技能:结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法──反证法;了解反证法的思考过程、特点。过程与方法:多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力;以及培养他们的分析问题和解决问题的能力;情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。2.教学重点:了解反证法的思考过程、特点3.教学难点:反证法的思考过程、特点4.教具准备:与教材内容相关的资料。5.教学设想:利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果,通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式,以及与临时假定矛盾等各种情况。6.教学过程:[来源

2、:全,品…中&高*考+网]学生探究过程:综合法与分析法(1)、反证法    反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论。    www.canpoint.cn010-5881806758818068全品高考网邮箱:canpoint@188.com第7页共7页全品高考网gk.canpoint.cn反设是反证法的基础,为了正

3、确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n一1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。上,都需要翻转奇数次,所以3枚硬币全部反面朝上时,需要翻转3个奇数之和次,即要翻转奇数次.但由于每次用

4、双手同时翻转2枚硬币,3枚硬币被翻转的次数只能是2的倍数,即偶数次.这个矛盾说明假设错误,原结论正确,即无论怎样翻转都不能使3枚硬币全部反面朝上.一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法(reductiontoabsurdity).例1、已知直线和平面,如果,且,求证。证明:因为,所以经过直线a,b确定一个平面。[来源:全,品…中&高*考+网]因为,而,所以与是两个不同的平面.因为,且,所以.下面用反证法证明直线a与平面没有公共点.假设直线a与平面有公共点,则,即点是直线a与

5、b的公共点,这与矛盾.所以.点评:线面平行的判定定理:www.canpoint.cn010-5881806758818068全品高考网邮箱:canpoint@188.com第7页共7页全品高考网gk.canpoint.cn如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.推理模式:.例2、求证:不是有理数分析:直接证明一个数是无理数比较困难,我们采用反证法.假设不是无理数,那么它就是有理数.我们知道,任一有理数都可以写成形如(互质,”的形式.下面我们看看能否由此推出矛盾.证明:假设不是无理数,那么它就是有理数.于是,存在互质的正整数,使得,从而有,因此,,所

6、以m为偶数.于是可设(k是正整数),从而有,即所以n也为偶数.这与m,n互质矛盾!由上述矛盾可知假设错误,从而是无理数.正是的发现,使人们认识到在有理数之外,还有一类数与1是不可公度的,这就是无理数;从而引发了数学史上的第一次危机,大大推动了数学前进的步伐。例3、已知,求证:(且)证明:假设不大于,即或.∵a>0,b>0∴由[来源:全,品…中&高*考+网](注:应由学生讨论回答上述步骤转化的目的是什么?)www.canpoint.cn010-5881806758818068全品高考网邮箱:canpoint@188.com第7页共7页全品高考网gk.canpoint.cna<b(推理利用了

7、不等式的传递性).又由[来源:全,品…中&高*考+网]但这些都与已知条件,a>b>0相矛盾.∴成立.例4、设,求证证明:假设,则有,从而因为,所以,这与题设条件矛盾,所以,原不等式成立。例5、设二次函数,求证:中至少有一个不小于.证明:假设都小于,则(1)另一方面,由绝对值不等式的性质,有(2)(1)、(2)两式的结果矛盾,所以假设不成立,原来的结论正确。注意:诸如本例中的问题,当要证明几个代数式中,至少有一个满足某个不等式时,通常

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