（理）a层《2.2.2间接证明--反证法》教案

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1、全品高考网gk.canpoint.cn1．教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。过程与方法:多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。2.教学重点：了解反证法的思考过程、特点3.教学难点：反证法的思考过程、特点4．教具准备：与教材内容相关的资料。5．教学设想：利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。6．教学过程:[来源

2、：全,品…中&高*考+网]学生探究过程：综合法与分析法(1)、反证法    反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。    www.canpoint.cn010-5881806758818068全品高考网邮箱：canpoint@188.com第7页共7页全品高考网gk.canpoint.cn反设是反证法的基础，为了正

3、确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。上，都需要翻转奇数次，所以3枚硬币全部反面朝上时，需要翻转3个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用

4、双手同时翻转2枚硬币，3枚硬币被翻转的次数只能是2的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使3枚硬币全部反面朝上．一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法(reductiontoabsurdity).例1、已知直线和平面，如果，且，求证。证明：因为,所以经过直线a,b确定一个平面。[来源：全,品…中&高*考+网]因为，而，所以与是两个不同的平面．因为，且，所以.下面用反证法证明直线a与平面没有公共点．假设直线a与平面有公共点，则，即点是直线a与

5、b的公共点，这与矛盾．所以.点评：线面平行的判定定理：www.canpoint.cn010-5881806758818068全品高考网邮箱：canpoint@188.com第7页共7页全品高考网gk.canpoint.cn如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：．例2、求证：不是有理数分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如（互质，”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．证明：假设不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数，使得，从而有,因此，，所

6、以m为偶数．于是可设(k是正整数），从而有，即所以n也为偶数．这与m,n互质矛盾！由上述矛盾可知假设错误，从而是无理数．正是的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数与1是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大推动了数学前进的步伐。例3、已知，求证：（且）证明：假设不大于，即或.∵a＞0，b＞0∴由[来源：全,品…中&高*考+网](注：应由学生讨论回答上述步骤转化的目的是什么?)www.canpoint.cn010-5881806758818068全品高考网邮箱：canpoint@188.com第7页共7页全品高考网gk.canpoint.cna＜b(推理利用了

7、不等式的传递性).又由[来源：全,品…中&高*考+网]但这些都与已知条件，a＞b＞0相矛盾.∴成立.例4、设，求证证明：假设，则有，从而因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不等式成立。例5、设二次函数，求证：中至少有一个不小于.证明：假设都小于，则（1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有（2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常