《2.2.2 间接证明》同步练习

《《2.2.2 间接证明》同步练习》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、《2.2.2课时作业》同步练习一、填空题1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，正确的反设是________．【解析】　“至少有一个角不大于60°”的否定为“所有三角形的内角均大于60°”．【答案】　假设三个内角均大于60°2．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．【解析】　“异面”的否定为“共面”．【答案】　b与c共面3．反证法证明“两条相交直线有且只有一个交点”时，一般情况下先证存在性，再用反证法证明________．【解析】　“有且只

2、有”有两点：①存在性　②惟一性．【答案】　惟一性4．命题“a，b是实数，若

3、a－1

4、＋

5、b－1

6、＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．【解析】　“a＝b＝1”是“a＝1且b＝1”，又因“p且q”的否定为“綈p或綈q”，所以“a＝b＝1”的否定为“a≠1或b≠1”．【答案】　a≠1或b≠15．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________．【解析】　若两个方程均无实根，则解得∴－2＜a＜－1.因此两方程至少有一个有实根时，应有a≤－2或a≥－1.【答案】　{a

7、a≤－

8、2或a≥－1}6．完成反证法证题的全过程．题目：设a1，a2，…，a7是由数字1，2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a2－7)为偶数．证明：假设p为奇数，则________均为奇数．①因7个奇数之和为奇数，故有(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)为________．②而(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝________．③②与③矛盾，故p为偶数．【解析】　由假设p为奇数，知a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数．故(a1－1)＋(a2－7)＋…＋(a7－7)＝(

9、a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数．这与0为偶数矛盾．【答案】　a1－1，a2－2，…，a7－7　奇数　07．设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋与2的大小关系是________．【解析】　假设a＋，b＋，c＋均小于2，则a＋＋b＋＋c＋＜6.①又∵a＋≥2，b＋≥2，c＋≥2，∴a＋＋b＋＋c＋≥6，②①与②矛盾，∴假设不成立∴a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2.【答案】　a＋，b＋，c＋至少有一个不小于28．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：

10、“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”．四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．【解析】　假设甲获奖，则四人说的话都错，不合题意，假设乙获奖，则甲、乙、丁三人的话都对，不合题意；假设丙获奖，则恰有甲、丙二人的话对，故获奖的歌手是丙．【答案】　丙二、解答题9．已知a，b，c是不全相等的非零实数，若a，b，c成等差数列，求证：，，构不成等差数列．【证明】　假设，，构成等差数列，则＝＋＝.①由于a，b，c成等差数列，故2b＝a＋c.②①②消去b，整理可得(a－c)2＝0，即a＝c，所以2b＝a＋c＝2a，即a＝b，则a＝b＝c.这与a，b，c不全相等矛盾．故

11、，，构不成等差数列．10．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a，b，c中至少有一个大于0.【证明】　假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.∵π－3＞0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，∴a＋b＋c>0.这与a＋b＋c≤0矛盾，所以a，b，c中至少有一个大于0.图2－2－411．如图2－2－4所示，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，A在平面PBC上的射影为H，求证：

12、H不可能是△PBC的垂心．【证明】　假设H是△PBC的垂心，连CH，则CH⊥PB.∵CB⊥AB，CB⊥PA，AB∩PA＝A，∴CB⊥平面PAB，∴CB⊥PB，从而在△BCP中，有CH∥CB，与CH∩CB＝C矛盾．∴假设不成立．故H不可能是△PBC的垂心．