流体力学中的波

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1、1I-校园计划流体力学的学校项目流体中的波的模块T.R.Akylas&C.C.Mei第七章层状流体中的内波1简介由于温度、成份和压力的变化，大气和海洋是连续分层的。海洋和大气中的这些变化可能导致垂直方向流体密度的重大变化。举例来说，来自河流的淡水可能浮在海水上面。并由于扩散程度小，密度差异会保留很长时间。密度分层使得出现流体振荡。产生振荡的回复力是浮力。与这种振荡有关的波动现象称为内波，将在这章讨论。2密度不可压缩的分层流体的控制方程我们将推导连续密度分层的不可压缩流体中的波动控制方程组。在此，将使用x,y和z笛卡尔坐标系，坐标轴z垂直朝上。在x,y和z轴正向上的速度分量表示为u,

2、v和ω。流体粒子必须满足连续方程1Dρ∂u∂v∂w+++=0(2.1)ρDt∂x∂y∂z和动量方程∂u∂u∂pρ+u=−(2.2)∂t∂x∂x∂v∂v∂pρ+v=−(2.3)∂t∂y∂y∂w∂v∂pρ+w=−−gρ(2.4)∂t∂y∂y其中ρ和p分别为流体密度和压力。令流体密度只与熵和成分有关，即ρ只与温位θ和成分浓度有关，举例说，如盐分和湿度sq。则固定θ和q(或s)，ρ与压力无关ρ=ρ(θ,q)(2.5)假设产生的运动是等熵的并没有相位的变化，因而对于材料单元来说，θ和q是常数，2因此Dρ∂ρDθ∂ρDq=+=0(2.6)Dt∂θDt∂qDt换句话说，对于材料单元来说，ρ只依赖

3、于θ和q，因此ρ是常数。也就是说这样的流体是不可压缩的，并根据式(2.6)，连续方程(2.1)变为∂u∂v∂w++=0(2.7)∂x∂y∂z对于不可压缩流体，ρ满足密度方程1Dρ=0(2.8)ρDt假设速度非常小，我们可线性化动量方程，得∂u∂pρ=−(2.9)∂t∂x∂v∂pρ=−(2.10)∂t∂y∂w∂pρ=−−gρ(2.11)∂t∂y下面，我们考虑由平衡状态(静止状态)的扰动产生波动。因此，密度和压力分布是流体静力平衡分布，由下式给出∂p=−gρ(2.12)∂z当波动展开后，压力和密度变化至p=p(z)+p′(2.13)ρ=ρ(z)+ρ′(2.14)其中，p′和ρ′分别为压

4、力和密度扰动，其背景状态是流体静力平衡时密度为p和压力为ρ。密度方程现假设为如下的形式∂ρ′∂ρ′∂ρ′∂ρ∂ρ′+u+v+w+w=0(2.15)∂t∂x∂y∂z∂z3运动幅度较小时，非线性项u∂ρ′/∂x，v∂ρ′/∂y和w∂ρ′/∂z可忽略。因此，方程(2.15)可简化为∂ρ′∂ρ+w=0(2.16)∂t∂z其表示在某点由背景密度分布的垂直对流产生的密度扰动。不可压缩流体的连续方程(2.7)保持不变，但是动量方程(2.9)~(2.11)假定为∂u∂p′ρ=−(2.17)∂t∂x∂v∂p′ρ=−(2.18)∂t∂y∂w∂p′ρ=−−gρ′(2.19)∂t∂y我们欲将方程组(2.7

5、)，(2.16)和(2.17)~(2.19)缩减为单一偏微分方程。实现如下。我们首先对连续方程求时间导数得222∂u∂v∂w++=0(2.20)∂t∂x∂t∂y∂t∂z其次，我们分别对方程(2.17)~(2.19)中x,y和求导数，得t22∂u∂ρ′ρ=−(2.21)2∂x∂t∂x22∂v∂ρ′ρ=−(2.22)2∂y∂t∂y22∂w∂ρ′∂ρ′ρ=−−g(2.23)2∂t∂t∂z∂t如将方程(2.21)和(2.22)代入方程(2.20)，得2221∂ρ′∂ρ′∂w−(+)+=0(2.24)22ρ∂x∂y∂t∂z我们可利用方程(2.16)，消去方程(2.23)中的ρ′，得22∂ω∂

6、p′∂ρρ=−+gω(2.25)2∂t∂t∂z∂z422∂∂第三，我们将算子+应用于方程(2.25)，得22∂x∂y22222222∂⎛∂ω∂ω⎞∂⎛∂p′∂p′⎞∂ρ⎛∂ω∂ω⎞ρ⎜+⎟=−⎜+⎟+g⎜+⎟(2.26)2⎜22⎟⎜22⎟⎜22⎟∂x⎝∂x∂y⎠∂t∂z⎝∂x∂y⎠∂z⎝∂x∂y⎠下面，我们应用方程(2.24)消去方程(2.26)中的p′，其给出了下列ω的偏微分方程22222∂⎛∂ω∂ω1∂⎡∂ω⎤⎞2⎛∂w∂w⎞⎜++ρ⎟+N⎜+⎟=0(2.27)2⎜22⎢⎥⎟⎜22⎟∂t⎝∂x∂yρ∂z⎣∂z⎦⎠⎝∂x∂y⎠其中，我们定义2g∂ρN(z)=−(2.28)ρ∂z其

7、有频率的单位(rad/sec)，并称为Brunt-Vaisala频率或浮力频率。如果假设ω相对z的变化远快于ρ()z，则21∂∂∂ω(ρ)w~(2.29)2ρ∂z∂z∂z并且(2.27)可利用该方程近似222222∂⎛∂ω∂ω1∂ω⎞2⎛∂w∂w⎞⎜++⎟+N⎜+⎟=0(2.30)2⎜222⎟⎜22⎟∂t⎝∂x∂yρ∂z⎠⎝∂x∂y⎠以上假设和Boussinesq近似等同。Boussinesq近似应用于运动的垂直尺度相对于背景密度的尺度较小时的情况。其内容包括，在计算