概率统计习题五四川版

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1、习题五1.设是总体X的样本,分别按总体服从下列分布求(1)X服从均匀分布:解:由Th5.1可知,(2)X服从泊松分布:解:(3)X服从二项分布:解:2.设是总体X的一个样本,试证:是总体方差的无偏估计量.证明:设此总体的方差为DX.(方差定义)4.设是X的一个样本,试证估计量都是E(X)的无偏估计,且的方差不超过W的方差.证:是E(X)的无偏估计量.∴W是E(X)的无偏估计量.总体的方差的无偏估计量。∴得证.5.从某种灯泡的总体中,随机抽取10个样本,测得其寿命(小时)为:1520,1483,1827,1654,

2、1631,1483,1411,1660,1540,1987.解:试求是方差的无偏估计.方差的无偏估计量是6.设为正态总体的一个样本,适当选择常数c,使的无偏估计.解:由于要使的无偏估计量,必须使7.设总体X的密度函数是是一组样本值,求参数的最大似然估计量.解:设样本的似然函数为令得∴的最大似然估计量为8.设总体X服从韦布分布,密度函数是其中为已知,是来自X的样本,求参数的最大似然估计.解:设令得∴的最大似然估计量为9.设总体X服从马克斯韦布分布,密度函数是是来自X的样本,求的最大似然估计.解:设似然函

3、数为令得∴的最大似然估计量为10.已知某电子仪器的使用寿命服从指数分布,密度函数是今随机抽取14台,测得寿命数据如下:1812,1890,2580,1789,2703,1921,2054,1354,1967,2324,1884,2120,2340,1480(单位:小时).求的最大似然估计值.解:设似然函数为令则令得由随机抽取数据得:∴的最大似然估计值为12.设总体X的密度函数为问是否为的无偏估计?为什么?解:∵∴X是服从参数的指数分布由指数分布的性质可知,而的无偏估计量.14.对球的直径作了5次测量,测量

4、的结果是6.33,6.37,6.36,6.32,6.37(厘米),试求样本均值和样本方差.解:=6.3515.在一批螺丝钉中,随机抽取16个,测其长度(厘米)为:2.32,2.21,2.20,2.24,2.22,2.25,2.21,2.24,2.25,2.23,2.25,2.21,2.24,2.23,2.25,2.22设螺丝钉的长度服从正态分布,试求总体均值的90%置信区间.(1)若已知=0.01;(2)若未知.解:设螺丝钉的长度为随机变量X,则(1)若已知=0.01,则总体均值的置信区间为根据查表得∴总

5、体均值的90%置信区间(已知=0.01)为(2.23-1.64×0.0025,2.23+1.64×0.0025)=(2.2259,2.2341)(2)若未知时=0.00028总体均值的90%置信区间为根据查表得=1.753∴总体均值的90%置信区间(未知)为(2.23-1.753×0.0042,2.23+1.753×0.0042)=(2.223,2.237)16.设正态总体的方差为已知问抽取的样本容量n应为多大,才能使总体均值的置信度为0.95的置信区间长不大于L.解:当已知方差时,置信区间的长度为

6、由题意,得查表得17.在测量反应时间中,一心理学家估计的标准差是0.05秒,为了以95%的置信度使他的平均反应时间的估计误差不超过0.01秒,应取容量为多大的测量样本?解:由题意,得由第16题的结果取n=9718.对某机器生产的滚珠轴承随机抽取196个样本,测得直径的均值为0.826厘米,样本标准差0.042厘米,求滚珠轴承均值的95%与99%置信区间.解:由题意未知,均值的95%置信区间为:∴均值的95%置信区间为=(0.820,0.832)(0.826-1.96×0.003,0.826+1.96×0.003)

7、均值的99%置信区间为:∴均值的99%置信区间为(0.826-2.576×0.003,0.826+2.576×0.003)=(0.818,0.834)