暑期数学综合试卷三

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1、暑期数学综合试卷三一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．若复数满足（是虚数单位），则．2．已知集合A={－1，0，1}，B={0，1，2，3}，则A∩B=．3．若以连续掷两次骰子得到的点数分别作为点P的横、纵坐标，则点P在直线上的概率为．4．已知且，则．5．已知定义域为的函数是奇函数，则．6．右图是一个算法的流程图，则输出S的值是．7．在中，已知，，则＝．8．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公

2、差是互为相反数，若样本容量为1600，则中间一组（即第五组）的频数为．9.在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为.10．函数，且）的图象恒过点A，若点A在直线上，其中，则的最小值是．11．已知是等差数列的前项和，若，，则数列的前20项和为．12．已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿，，三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥的体积为．13.已知是定义在R上且周期为3的函数,当时,.若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数的取值范围是.14．设a、b均为大于1的自然数，函数，，若存在实

3、数k，使得，则．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知分别为三个内角的对边，（1）求（2）若，的面积为；求.16．（本小题14分）PADBCE如图，四棱锥中，⊥底面，⊥．底面为梯形，，，，点在棱上，且．（1）求证：平面⊥平面；（2）求证：∥平面．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点B的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结．（1）若点C的坐标为，

4、且，求椭圆的方程；（2）若，求椭圆离心率e的值．18．（本小题满分16分）如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10km.公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A，B两点)，然后乘同一艘游轮前往C岛．据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2元，游轮每千米耗费12元．设∠CDA＝α，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元．(1)写出S关于α的函数表达式，并指出α

5、的取值范围；(2)问：中转点D距离A处多远时，S最小？19．（本小题满分16分）已知数列中，，，其前项和满足,其中，．（1）求证；数列为等差数列，并求其通项公式；（2）设，为数列的前n项和，求使>2的n的取值范围．（3）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．20.（本小题满分16分）已知函数，.(1)求的最大值；(2)若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；(3)若关于的方程恰有一解，其中是自然对数的底数，求实数的值.暑期数学综合试卷三参考答案一.填空题：1．；2．{0，1}；3．；4．；5．2；6．750

6、0；7．4；8．360；9．；10．8；11．55；12．；13．(0，1/2)14．4二、解答题15．（1）由正弦定理得：----------------------7分（2）----------------------7分16.：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴，又AB⊥BC，，∴⊥平面．又平面，∴平面⊥平面．----------------------7分（2）∵PA⊥底面ABCD，∴AC为PC在平面ABCD内的射影．又∵PC⊥AD，∴AC⊥AD．在梯形中，由AB⊥BC，AB=BC，得，∴．又AC⊥AD，故为等腰直角三角形

7、．∴．连接，交于点，则在中，，∴又PD平面EAC，EM平面EAC，∴PD∥平面EAC．----------------------7分17.（1）∵，∴∵，∴，∴∴椭圆方程为（2）设焦点∵关于x轴对称，∴∵三点共线，∴，即①∵，∴，即②①②联立方程组，解得∴∵C在椭圆上，∴，化简得，∴,故离心率为18.解：(1)由题知在△ACD中，∠CAD＝，∠CDA＝α，AC＝10，∠ACD＝－α.由正弦定理知＝＝，………2分即CD＝，AD＝，………4分所以S＝4AD＋8BD＋12CD＝12CD－4AD＋80＝＋80………6分＝20·＋60

8、.………8分(2)S′＝20·，令S′＝0得cosα＝.………10分当cosα＞时，S′＜0；当cosα＜时，S′＞0，………12分所以当cosα＝时，S取得最小值，………14分此时sinα＝，AD＝＝，所以中转点D距A处km时，运输成本S最小．………16分19．解：（1）由