预备知识： 方向导数与梯度、海赛矩阵及泰勒公式[1]

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1、§10.4方向导数与梯度、海赛矩阵及泰勒公式10.4.1方向导数与梯度1．方向导数的概念偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率．对于二元函数zfxy=(,)，有f(xhyfxy00+−,,)(00)fxyx′()00,l=im，h→0hf(xyhfxy00,,+−)(00)fxyy′()00,l=im．h→0h⎧zfxy=(,),⎧zfxy=(,),在几何上，它们分别表示平面曲线⎨及⎨在点(x00,y)处的切线的斜⎩yy=⎩xx=00率．现在我们来考虑二元函数zfxy=(,)在(x,y)处沿某指定方向的

2、变化率．设方向向量u000对应的单位向量为u={cos,cosαβ}，其中α,β为向量u的方向角．如图10.4.1，当自变量从点Pxy(),沿方向向量u变化到Qxy(,)时，函数的改变量00Δ=uzfxh()00+cos,αβyh+cos−fxy(0,0)，当h>0时，自变量沿方向u同向移动的长度为h；当h<0时，自变量沿方向u反向移动的长度为−h．因此，当自变量沿方向u移动h时，函数的平均变化率为：Δuzf()xh00++−cos,αβyhcosfxy(0,0)=．hh令h→0，如果上式极限存在，我们就得

3、到函数在点Pxy(,)沿方向u的变化率，称为函数00zfxy=(,)在点Pxy(),处沿方向u的方向导数，记作Dfxy(,)，即00u00f()xh00++−cos,αβyhcosfxy(0,0)Dfxyu()00,l=im．（10.4.1）h→0h下面我们来看方向导数的几何意义．方程zfxy=(,)表示空间曲面S，设Pxyz′(,,)与Qxyz′(,,)为曲面S上的点，它们000在xoy平面上的投影分别对应点P和Q．过点P和P′作平行于方向向量u的竖直平面交曲面S于曲线C，如图10.4.2所示，曲线C可以

4、用关于h的一元函数ϕ()hfxh=(++cos,αβyhcos)00151来描述，它在P′处的切线的斜率为f()xh00++−cos,αβyhcosfxy(0,0)ϕ′(0)=lim，h→0h即Dfxy(),．u00特别地，f′()xy,与f′()xy,分别为函数f(,)xy在点Pxy(,)处沿两坐标轴方向x00y0000i={1,0}及j={0,1}的方向导数．所以，方向导数是偏导数的推广．z切线Pxyz′(,,)000yQxyz′(,,)u曲面Qxy(,)曲线h>0oyPxy(,)00h<0Pxy(,)

5、00huQxy(,)xQxy(,)ox图10.4.1点沿方向向量移动图10.4.2方向导数Dfxy(,)的几何意义u002．方向导数的计算直接利用定义式（10.4.1）来计算方向导数是很不方便的，下面的定理给出了用偏导数计算方向导数的一个简便的公式．定理10.4.1设函数f(,)xy在点Pxy(,)可微，那么函数在该点沿任意方向向量u的000方向导数都存在，且有Dfxyu()00,,=+fxyxy′′(00)cos,αfxy(00)cosβ，（10.4.2）其中cos,cosαβ为向量u的方向余弦．证因函数

6、f(,)xy在点Pxy(),可微，则00022f(x0+Δxy,,0+Δ−yfxy)()()()00=fxyxfxyyoxy′′00,,Δ+00Δ+((Δx)+Δ(y))当自变量从点Pxy(),沿u方向移动时，000Δ=xhcos,αΔ=yhcosβ，22且()()Δ+Δ=xyh

7、

8、，所以152fxh()00++−cos,αβyhcosfxy(0,0)lim=+fxyxy′′()00,cosαfxy()00,cosβ．h→0h这就证明了方向导数存在，且（10.4.2）式成立．一般地，当函数f(,)xy可微时

9、，有∂ff∂Dfxy(,)=+cosαcosβ（10.4.3）u∂∂xy方向导数的概念及计算公式可推广到三元及三元以上的函数．例如，三元函数f(,,)xyz0在点Pxyz(),,沿方向u（对应的单位向量为u={cos,cos,cos}αβγ）的方向导数定义000为f()xh000+++cos,αβγyhcos,zhcos−fxyz(0,0,0)Dfxyzu()000,,=lim．h→0h同样，当函数f(,,)xyz在点Pxyz(),,可微时，函数在该点沿方向u的方向导数000Dfxyzu()000,,=++

10、fxyzxyz′′′()000,,cosαfxyz(000,,c)osβγfxyz(000,,c)os一般地，当函数f(,,)xyz可微时，有∂fff∂∂Dfxyz(,,)=++cosαcosβγcos．（10.4.4）u∂∂∂xyz2y例1求函数f(,)xy=+xecos()xy在点(1,0)沿方向ui=34−j的方向导数．22yy解由f′′=−eysin(xy),f=2xe−xsin(xy)，知ff′(1,0