《岩石力学中的分形》

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1、第15卷第6期水利水电科技进展1995年12月岩石力学中的分形几何徐永福(河海大学地质及岩土工程系南京210098)摘要本文综述了分形几何在研究岩石断裂分布、岩石断裂面的粗糙度、岩石微破裂过程和地震,以及岩石碎屑等方面的成果。分形几何很好地描述了岩石力学中的不规则性和不确定性,并已得到广泛的应用。分数维具有实实在在的物理意义,是一个真实的物理量,文中对分数维的物理意义进行了讨论。关键词分形几何分数维岩石力学尺规不变性重正化群集聚分形模型岩石力学是固体力学的一个分支。岩石的、不规则的现象,即研究自然界中没有特征材料的力学行为具有不确定性和不规则性,长度,而具有

2、自相似性的形状和现象,如海岸不同层次(不同尺寸)的岩石材料,其力学行线、山的起伏、河网水系、地震、湍流、凝集体、为具有相似性。面对岩石力学的这种不规则相变、动物血管系统,肺膜结构、气候的变化,性,经典的数学力学模型显得无能为力。“由以及股市的变动、人口的分布、足球运动员的于岩石和土的复杂性,需要发展一些全新的跑动路线等等。毫不夸张地说,分形几何遍布[1]思想和方法,⋯⋯”。分形几何(fractalge-整个自然界,大到宇宙星云分布、小到准晶态[2]ometry)自1983年形成以来,已被广泛应的晶体结构。用于岩石力学中,如岩石断裂,岩石碎屑、岩分形几何中,最

3、主要的概念是分数维石节理面的粗糙度、地震预测、地质构造及岩(fractaldimension)。早在1919年,Hausdoff爆等。“分形几何在岩石力学研究中开创了一提出了分数维数(fractionaldimension)的概[3][2]个新的生长点⋯⋯”。念,Mandelbrot将分数维数推广应用到分形几何中,分数维可以是分数、也可以是整1分形几何的概念[4]数。确定分数维比较实用的方法有五种:
分形(fractal)一词最先是由法国数学家改变粗视化程度(尺寸)求分数维;
根据测[2]Mandelbrot引入的,源于拉丁语的形容词度关系求分数维;
根据相

4、关函数求分数维;fractus(破碎),Mandelbrot将其解释为不规
根据分布函数求分数维;
根据光谱求分则(irregular)或破碎的意思。Mandelbrot最数维。初定义分形为Hausdorff维数严格大于其拓分形几何主要是研究一些具有自相似性朴维数的集合,后来他发现这个定义不太严(self-similar)的不规则曲线,具有自平演化格,只包括了那些具有自相似性的分形,而绝(self-inverse)的不规则曲线,具有自平方性大多数复杂的分形都被排斥在外。分形几何(self-squaring)的分形变换和具有自仿射现已被广泛用于研究自界中常见的

5、、不稳定(self-affine)分形集。而所谓的线性分形即具·15·有自相似性的分形是分形几何的主要内容,2岩石断裂的分形线性分形的维数变化是连续的。简单地说,自相似就是局部是整体按比例缩小的性质,也2.1岩石的分形破裂[6]称尺规不变性或尺度无关性(scaleinva-Louis等用计算机模拟了不同边界条[2]riant),即在不同放大倍数的放大镜下观察件下,各种物理性质的材料破裂的自相似特对象,其“影像”都是一样的,与放大倍数无性,其自相似分维D=1.6左右。[7]关。例如,弯弯曲曲的海岸线,在统计意义上谢和平提出岩石微破裂的分形模型[5]是相似的,M

6、andelbrot测出英国海岸线的(图2)。图2(a)中,N=2,r=1/1.732,分数分数维D=1.2左右。再如,自由粒子无规则维D=log2/log1.732=1.26;图2(b)中,D运动的布朗曲线,在统计意义上也是自相似=log4/log3=1.26;图2(c)中,D=log3/的,其分数维D=2.0。在数学上,有许多著名log2.236=1.37;图2(d)中,D=log5/的奇异图形都是分形,如Cantor曲线、Kochlog3.605=1.26。曲线、Sierpinski填料和Menger海绵(图1)。图2微破裂的分型模型[6](a),(b)

7、沿晶破裂;(c)穿晶破裂;(d)沿晶、穿晶偶合破裂[8]T.Hirata等用Oshima花岗岩的三轴试验(围压40MPa)中的声发射特征,研究了微破裂的分形过程,并推广到地震事件,认为在主大震发生前,破裂的分维数减小。对于声发射(p1,p2,⋯,pN),相关积分C(r)为2C(r)=Nr(RR的声发射对(pi,pj)的数图1常见的几种自相似分形(a)Cantor集(灰尘),D=log2/log3=0.6309;目,R可以表示时间,也可以表示距离。相应(b)Koch雪花,D=log4/log3=1.2618;地有:(c)

8、Sierpinski地毯,D=log3/log2=1