球面距离公式(武功晓)

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1、球面距离公式西盟一中武功晓邮编：665700内容摘要：揭示球面上两点距离计算的简便的统一公式关键词：球面距离统一公式球面距离一直是困扰高中数学老师和地理老师进行教学的一个难点，概念多、公式多、计算复杂，难得记忆，本人试图用一个统一的公式加以解决。为了说明公式的优越，现从以下几个方面加以总结。一、地理知识1、概念纬线：在地球仪上，顺着东西方向环绕地球一周的圆圈。经线：在地球仪上，连接南北两极并与纬线垂直相交的线。2、经度和纬度的比较经度纬度定义两面角，即该点所在经线平面与本初子午线平面间的夹角。线面角，即该点与地心的连线与赤道平面之

2、间的夹角。0°起算点本初子午线（0°经线）赤道（0°纬线）划分方法以0°经线为界，向东、西各划分180°，0°经线以东为东经度，以西为西经度。以0°纬线为界，向南、向北各划分90°，0°纬线以北为北纬度，以南为南纬度。代号东经（E），西经（W）南纬（S），北纬（N）分布规律东经度的度数愈向东愈大西经度的度数愈向西愈大。北纬的度数愈向北愈大，南纬的度数愈向南愈大。半球的划分以20°W和160°E为界20°W向东到116°为东半球20°W向西到116°为西半球以赤道为界赤道以北为北半球赤道以南为南半球860°40°20°0°20°40

3、°60°3、方格状经纬网图60°40°20°0°20°40°60°1）横线代表纬线，纵线代表经线。2）纬度数由南向北增大的为北纬，由北向南增大的为南纬；经度数由西向东增大的为东经，由东向西增大的为西经。4、球面距离，在地球表面上，两地间的最短距离是通过两点的球面大圆的劣弧段。二、地理学科中球面距离的计算利用经纬网求地球上的两点距离。1）同一经线上的两点，其经度差为θ，距离为·θ＝111千米×θ（θ单位为0°）.2）同一纬线上的两点（纬度为4），其经度差为β，则其距离为×cosφ×β（φ与β的单位为0°）。＝111千米×cosφ×β

4、83）两点经度和纬度均不同，计算两点间距离时要进行估算，若两点经度和纬度均相差较大，则要分别算出两点在经线、纬线方向上的距离。再用勾股定理计算，若两点经度和纬度有一项相差较小，则先假设两点的经度相同或纬度相同，然后再根据实际情况扩大或缩小，另外也可以先算出比例尺，进而算出两点间的距离。例1．地球上北纬30°圈上有A、B两点，又A在两经10°，B在东经110°，球A、B两点的球面距离（设地球半径R＝6371km）略解：由已知α＝30°，β＝120°AB＝111×cos30°×120≈11535.46（km）48°E34°NB29°N

5、CA36°E例2．若A地在东经36°，北纬34°，B地在东经48°，北纬29°，球A、B两地的球面距离。图一略解：两点既不在同一纬线上，也不在同一经线上，若不考虑地球球面的影响，两点间的直线距离可由色股定理求出，如图一：在南北方向上，两点相差5个纬度，其距离为AC＝115×5＝555（千米）；在东西方向上，两地相差12个经度，其距离为BC＝12×111×cos30°≈1150千米，由此可计算出A、B两地的距离约为AB＝＝1276.92（千米）三、数学学科中球面距离的计算设球面上两点间的球心角为α弧度，球半径为R，则球面上两点距离为

6、

7、α

8、·R。计算球面距离关键是确定球心角。1、两点在同经线圆上，可直接计算两点间劣弧长度。8O0°BARαO0°BARαB图二图三此时A、B两点在同一大圆上，而大圆半径为R，若A、B在同一半球（图二）则α为纬度差；若A、B在不同半球上（图三）则α为纬度和。此时，AB＝Rα（α为∠AOB的弧度数）。2、两点在同一纬线圆上，先求弦长，由余弦定理求球心角。因为两点A、B在同一纬度圈上，所以可求出纬度圈小圆半径O1A，α为小圆两半径O1A，O1B的夹角。（图四）图四若A、B在同一半球，则α为经度差；若A、B在不同半球，则α为经度和，此时，

9、A、B在纬度圈上的弦长AB＝。求A、B的球面距离，关键在于求∠AOB，由余弦定理求出∠AOB＝β，此时AB＝R·β（β是∠AOB的弧度数，AB指球面距离）。3、两点经纬都不同时，用异向直线上两点距离公式l2＝m2＋n2＋d28±2mncosθ求弦长，再由余弦定理求球心角。图五由已知可求出⊙O1，⊙O2的半径r1，r2及O1O2的长∵O1O2⊥⊙O1，O1O2⊥⊙O2∴O1O2⊥O1A，且O1O2⊥O2B即O1O2为两异面直线的公垂线段d，A、B分别在两异面直线上，且分别到公垂线的距离为r1、r2，则AB2＝d2＋r21＋r22±2

10、r1r2cosθ，其中θ为两异面直线的夹角，即A、B两点的经度差或经度和，取“＋”还是“－”要看A、B的位置，前例1，略解，如图六，由已知∠OBO1＝30°，∠AO1B＝120°且O1B＝，在△O1AB中，有AB2＝AO21＋BO21－2AO1·B