电磁场与电磁波基础第5章

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1、第5章静态场的解静态场是指场量不随时间变化的场。静态场包括：静电场、恒定电场及恒定磁场，它们是时变电磁场的特例。分析静态场，必须从麦克斯韦方程组这个电磁场的普遍规律出发，导出静态场中的麦克斯韦方程组，即描述静态场特性的基本方程。再根据它们的特性，联合物态方程推导出位函数的泊松方程和拉普拉斯方程。最后，静态场问题可归结为求泊松方程和拉普拉斯方程解的问题。通常求解这两个方程的方法有：镜像法、分离变量法和复变函数法，它们属于解析法，而在近似计算中常用有限差分法。1.静电场、恒定电场、恒定磁场的基本方程4.镜像法、分离变量法、格林函数法、有限差分法重点：3.求解静态场位函

2、数方程的方法所依据的理论：对偶原理、叠加原理、唯一性定理2.静态场的位函数方程5.1泊松方程和拉普拉斯方程5.1.1静态场中的麦克斯韦方程组对于静态场，各场量只是空间坐标的函数，并不随时间而变化，即与时间t无关。因此，静态场的麦克斯韦方程组为：电流连续性方程为：由上述方程组可知，静态场与时变场最基本的区别在于静态场的电场和磁场是彼此独立存在的，即电场只由电荷产生，磁场只由电流产生。没有变化的磁场，也没有变化的电场。既然如此，我们就可以分别写出静电场、恒定电场和恒定磁场的基本方程。1、静电场的基本方程静电场是静止电荷或静止带电体产生的场，其基本方程为上式表明：静电场

3、中的旋度为0，即静电场中的电场不可能由旋涡源产生；电荷是产生电场的通量源。另外：电介质的物态方程为静电场是一个有源无旋场，所以静电场可用电位函数来描述，即2、恒定电场的基本方程载有恒定电流的导体内部及其周围介质中产生的电场，即为恒定电场。当导体中有电流时，由于导体电阻的存在，要在导体中维持恒定电流，必须依靠外部电源提供能量，其电源内部的电场也是恒定的。若闭合路径不经过电源，则：这是恒定电场在无源区的基本方程积分形式，其微分形式为从以上分析可知，恒定电场的无源区域也是一个位场，也可用一个标量函数来描述。另外：导体中的物态方程为3、恒定磁场的基本方程这是恒定磁场的基本

4、方程。从以上方程可知，恒定磁场是一个旋涡场，电流是这个旋涡场的源，磁力线是闭合的。另外：磁介质中的物态方程为恒定电流的导体周围或内部不仅存在电场，而且存在磁场，但这个磁场不随时间变化，是恒定磁场。假设导体中的传导电流为I，电流密度为,则有静电场既然是一个位场，就可以用一个标量函数的梯度来表示它:5.1.2泊松方程和拉普拉斯方程1、静电场的位函数即式中的标量函数称为电位函数。所以有对于均匀、线性、各向同性的介质，ε为常数即静电场的位函数满足的泊松方程。上式即为在有电荷分布的区域内，或者说在有“源”的区域内，静电场的电位函数所满足的方程，我们将这种形式的方程称为泊松方

5、程。如果场中某处有ρ=0，即在无源区域，则上式变为我们将这种形式的方程称为拉普拉斯方程。它是在不存在电荷的区域内，电位函数应满足的方程。在直角坐标系中在圆柱坐标系中在球坐标系中拉普拉斯算符在不同的坐标系中有不同的表达形式：2、恒定电场的位函数根据电流连续性方程及物态方程并设电导率为一常数（对应于均匀导电媒质），则有则有在无源区域，恒定电场是一个位场，即有这时同样可以引入一个标量位函数使得这说明，在无源区域，恒定电场的位函数满足拉普拉斯方程。3、恒定磁场的位函数分布人为规定(1)磁场的矢量位函数这个规定被称为库仑规范于是有此式即为矢量磁位的泊松方程。恒定磁场是有旋场

6、，即,但它却是无散场，即引入一个矢量磁位后，由于，可得在没有电流的区域,所以有在没有电流分布的区域内，恒定磁场的基本方程变为(2)磁场的标量位函数这样，在无源区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性质，因此，象静电场一样，我们可以引入一个标量函数，即标量磁位函数注意：标量磁位的定义只是在无源区才能应用。即令此式即为矢量磁位的拉普拉斯方程以上所导出的三个静态场的基本方程表明：静态场可以用位函数表示，而且位函数在有源区域均满足泊松方程，在无源区域均满足拉普拉斯方程。因此，静态场的求解问题就变成了如何求解泊松方程和拉普拉斯方程的问题。这两个方程是二阶偏微分方程，针对具体的

7、电磁问题，不可能完全用数学方法求解。在介绍具体的求解方法之前，我们要先介绍几个重要的基本原理，这些原理将成为以后求解方程的理论依据。当媒质是均匀、线性和各项同性时，由和可得由于5.2对偶原理如果描述两种物理现象的方程具有相同的数学形式，并且有相似的边界条件或对应的边界条件，那么它们的数学解的形式也将是相同的，这就是对偶原理。具有同样数学形式的两个方程称为对偶性方程，在对偶性方程中，处于同等地位的量称为对偶量。有了对偶原理后，我们就能把某种场的分析计算结果，直接推广到其对偶的场中，这也是求解电磁场的一种方法。1、ρ=0区域的静电场与电源外区域的恒定电场的对偶对偶量恒

8、定电场静电