椭圆中的焦点三角形及其计算

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1、椭圆中的焦点三角形及其计算郑州市李三胜由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作为焦点三角形.与焦点三角形的有关问题有意地考查了定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等.一．焦点三角形的形状判定及周长、面积计算例1椭圆上一点到焦点的距离之差为2，试判断的形状.解：由椭圆定义：.又，故满足：故为直角三角形.说明：考查定义、利用已知、发挥联想，从而解题成功.例2椭圆上的一点与两焦点所成的角，求证：的面积为.证明：设则由椭圆第一定义有：.则余弦定理得：..说明：充分利用了定义、余弦定理、面积公式.二．有关焦半径的计算如图，椭圆的两个焦点是椭圆上任一点，则有：.证

2、明：由椭圆第二定义得：；.椭圆上任一点到两个焦点的距离，分别称为左、右焦半径.为焦点三角形的两边.例3已知椭圆为其左右两个焦点.问能否在椭圆上找到一个点，使到左准线的距离是与的等比中项？若存在，求出该点坐标，若不存在，说明理由.解：不存在.下面说明理由：假设存在适合题义的点.设点，则.这不可能，故所求点不存在.说明：对于探索性问题，应先回答其是否存在，再说明理由.三．有关离心率的计算例4椭圆的两个焦点在焦点中：①则(为离心率)；②则证明：设，则在中.①由余弦定理得：.即：.②由正弦定理得：.故：说明：三角形内的问题会涉及正余弦定理，及有关概念，在解题时要细细体会.