强化逆向思维训练培养学生数学能力

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1、强化逆向思维训练培养学生数学能力编码：研究类型：数学思想方法论文中图分类号：O［摘要］：在数学教学中，我们发现，学生正向思维活跃，而逆向思维相对薄弱，任其发展，则会形成思维定势，不利于学生的智力开发，能力的培养和素质的提高.因此，强化逆向思维训练，有助于提高学生思维的灵活性，克服思维的习惯性;有助于提高学生分析问题和解决问题的能力；有助于学生形成良好的思维品质；有助于学生的创新开拓精神的培养.［关键词］：逆向思维;正向思维；对立统一规律；开创性思维.对立统一规律是辩证唯物主义的根本规律，而逆向思维就是从对立中认识事物的一种思维方法，说简单些，就是反过来思

2、考的意思.逆向思维要求我们在掌握前人知识的基础上，要从不同的方面去探索客观真理.因此，对一个问题的思考不能只拘泥于正面，也可以从反面去思考.下面，就笔者在进行概念、定义、公式、法则及原理教学时，坚持有意识地对学生进行逆向思维训练的经验，愿和同仁交流.一定义教学中的逆向思维训练因为对于作为定义的数学命题，其逆命题总是成立的.所以我们在应用定义解题时，不仅可以应用原命题，而且也可以运用逆命题.圆锥曲线是解析几何的主要内容.在学生掌握了圆锥曲线的定义后，为了加强同学们对这个概念的进一步理解，为了能够使同学们自觉地运用定义解题，我就有针对性地布置了这方面的一些题

3、目，其中的一道是：例1已知平面内一定点F到一定直线的距离为,点P到定点的距离和它到定直线的距离之比为(0<<),求点P的轨迹方程，并就的取值讨论方程表示什么曲线.这道题是仿照圆锥曲线的第二定义编拟的，虽然学生用求轨迹方程的常规方法（建系、设点、列式、化简、证明）能列出原始方程，却在化简中出了错.通过引导学生联想圆锥曲线的第二定义及极坐标方程,学生茅塞顿开，得出点P的轨迹是圆锥曲线，并按定义较快地写出了点P的极坐标方程：至于就的值讨论曲线的类型，只需讨论即可.教师在概念教学时，应及时设计正、反两方面应用定义的问题，逐步培养学生双向思维的习惯.如教师在讲反函

4、数概念教学时，为了让学生理解反函数是原函数逆映射，提出问题：已知.分析:如果学生按正向思维,启发学生应用反函数的定义，就是原函数自变量的值,即很轻易得=1.二公式、法则教学中的逆向思维训练一般地，数学公式、法则是从左到右运用的，而有时也会从右到左运用，这样的转换正是由正向思维转到逆向思维能力的体现.因此，当讲授完一个公式、法则后，紧接着举一些公式逆应用的例子，可以给学生一个完整、丰满的印象，开阔思维空间.如两角和与差、倍角的三角函数公式的展开和聚会，由水平放置平面图形的直观图求原图，组合恒等式中的构造法证明等.只有加强了对公式、法则的逆向思维训练，才能使

5、学生在解题中得心应手，左右逢源.例2过圆外一点P(a,b)，引圆的两条切线，求经过两个切点的直线方程.分析：若先求出两个切点的坐标，固然可以，但其繁难程度非常之大；若设切点已解出，不妨记为（）,()，再考虑到点p(a,b)在两切线上，可得另一巧妙的解法.解：设切点坐标为（）,()，则切线方程为，.又因为点P(a,b)在切线上，故有和.上面两式说明点（）和()满足直线方程.因为过两点的直线只有一条，故所求的直线方程为.这种方法叫“设点消元法”.它象列方程解应用题，但不同的是设而不解，而通过（）和()把a和b引出来后，自己却消失了，这是逆向思维的典型例子.同

6、学们这种解法极感兴趣.又如在二项式定理教学时,可设计题目:⑴求.（二项式定理逆用）⑵求的值.（组合数性质2：的逆用）.将原式加上再减去反复逆用公式可得.三解题方法中的逆向思维训练在学数学的过程中，经常会遇到这样一些问题，当从正面考虑时会出现很多障碍，或者根本解决不了，而从反面着手，往往可以使问题迎刃而解.再如证明问题的不可能性等,都需要有非常规思路去解决.实施逆向思维的训练常采用的策略有：正难则反，以退求进及反“客”为主等.例3设函数（.证明：存在两个实数满足（i=1,2）.分析：这道题猛一下可把同学们唬住了，尤其对是怎么来的更是百思不得一解.其实这是一

7、道关于存在性的证明问题，至于的具体值是什么这是无关紧要的，只要证明它存在就行了.引导学生交换“客”变量m与主变量的地位，联想到一元二次方程根的判别式，可得下面解法.证明：（1）（1）可视为关于m的一元二次方程（x和a、b一样，可视为常数），去分母并化简整理，得（2）这是关于m的一元二次方程，其判别式=（因为a0）故方程（2）有两个不等的实数根（不妨设），且两根中没有等于1的.否则，1－（b+1）1+b－=0,即－=0，于是a=0,这与已知a0相矛盾.这说明由方程（1）变为（2）无增根出现，故就是方程（1）的两个根.即存在两个使得（1）成立.有了上面的例题

8、启发，布置下面强化训练题：已知：方程（其中是非负整数），至少有一个整数根，那么.