静电场的能量

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1、六、静电场的能量电荷体系与外电场的相互作用1、静电场能量1vvW=∫∞E⋅DdV2由E=-∇ϕ和∇⋅D=ρ得vvvvvE⋅D=−∇ϕ⋅D=−∇⋅(ϕD)+ϕ∇⋅Dv=−∇⋅(ϕD)+ρϕ因此11vW=∫ρϕdV−∫∇⋅(ϕD)dV22式中右边第二项散度体积分化为面积分vvvr→∞∫∇⋅(ϕD)dV=∫ϕD⋅dS→01所以W=∫ρϕdV2例3求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量。解整个导体为等势体,导体球的电荷分布于球面上，方法之一:11QW=ρϕdV=Qϕϕ=∫aa224πεa02Q因此静电场总能量为W=8πεa0

2、方法之二:1vvW=∫∞E⋅DdV因为球内电场为零，2故只须对球外积分222εQ2Q∞1Q0W=rdrdQ=dr=.∫228∫ar28a2()4πεπε0πε0r02、电荷体系在外电场中的能量电荷体系在外电场中的能量为W=ρϕdV∫e设电荷分布于小区域内，取区域内适当点为坐标原点，把ϕ(x)对原点展开e332v∂1∂ϕe()x=ϕe()0+∑xiϕe()0+∑xixjϕe()0+Li=1∂xi2!i,j=1∂xi∂xj代入得3∂13∂2W=∫ρϕe()0+∑xiϕe()0+∑xixjϕe()0+LdVi=1∂xi2

3、!i,j=1∂xi∂xj2∂1∂=Qϕe()0+∑piϕe()0+∑Dijϕe()0+Li∂xi6i,j∂xi∂xjv1t=Qϕ()0+p⋅∇ϕ()0+D:∇∇ϕ()0+Leee6第一项是设想体系的电()0荷集中于原点上时在外W=Qϕ(0)e场中的能量第二项是体系的电()1vv偶极矩在外电场中W=p⋅Ee(0)的能量第三项是四极1tv只有在非均匀场子在外电场中W()2=−D:∇Ee中四极子的能量的能量6才不为零