回归分析的基本思想及其初步应用第

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1、1.1回归分析的基本思想及其初步应用第一课时温故知新两个变量的关系不相关相关关系函数关系线性相关非线性相关函数关系中的两个变量间是一种确定性关系。相关关系是一种非确定性关系。（2011年广东13）某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm．比《数学3》中“回归”增加的内容数学３——统计画散点图了解最小二乘法的思想求回归直线方程y＝bx＋a用回归直线方程解决应用问题选修1-2——统计案例最小二乘法：称为样本点的中心。

2、3、对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。2、回归直线方程：2.相应的直线叫做回归直线。1、所求直线方程叫做回归直---线方程；其中例1、某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示.编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359（1）画出散点图（2）根据女大学生的身高预报体重的回归方程，（3）预报一名身高为172cm的女大学生的体重.解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻

3、画它们之间的关系。根据最小二乘法估计和就是未知参数a和b的最好估计，于是有所以回归方程是所以，对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？样本点呈条状分布，身高和体重有较好的线性相关关系，因此可以用回归方程来近似的刻画它们之间的关系.解：散点图：3、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y=bx+a简单描述它们关系。我们可以用下面的线性回归模型来表示：y=bx+a+e，其中a和b为模型的未知参数，e称为随

4、机误差。思考P3产生随机误差项e的原因是什么？思考：产生随机误差项e的原因是什么？随机误差e的来源(可以推广到一般）：1、其它因素的影响：影响体重y的因素不只是身高x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；2、身高x的观测误差。线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和随机误差项e共同确定，即自变量x只能解析部分y的变化。在统计中，我们也把自变量x称为解析变量，因变量y为预报变量。残差数据点和它在回归直线上相应位置的差异称为相应于点（xi，yi）的残差。例：编号为6的女大学生，计算随机误差的效应（残差）残差平方和

5、把每一个残差所得的值平方后加起来，用数学符号表示为：称为残差平方和在例1中，残差平方和约为128.361。表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。残差分析与残差图的定义：我们可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。编号12345678身高165165157170175165155170体重/kg4857505464614359残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可

6、以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。残差图的制作及作用。坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点错误数据模型问题几点说明：第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，

7、说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）。如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。总的来说：相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。用身高预报体重时，需要注意下列问题：1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总

8、体；2、我们所建立的回归方程一般都有时间性；3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；4、不能期望回归方程