3.1 导数的概念

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1、第三章导数与微分在一切理论成就中，未必有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了.——恩格斯微积分学的创始人:英国数学家Newton德国数学家Leibniz导数描述函数变化快慢微分学微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)第一节导数的概念一.引例二.导数的定义三.函数可导与连续的关系四.导数的几何意义文艺复兴的火炬驱散了中世纪的漫漫黑暗，15世纪之后的欧洲，资本主义逐渐发展采矿冶炼、机器发明、商业交往、枪炮制造、远洋航海、天象观测等大量实际问题，给数学提出了前所未有的亟待解决的新课题。其中三类问题导致了微分学的产生：1.求变速

2、运动的瞬时速度2.求曲线上一点处的切线3.求极大值与极小值一.引例引例1.变速直线运动的瞬时速度已知物体作变速直线运动,其运动方程为s＝s(t)(s表示位移,t表示时间),求物体在t时刻的速度．0(1)如图设该物体在时刻t的位置是s(t)＝OA,在时刻000t+Δt的位置是s(t+Δt)=OA,则从t到t+Δt这段时00100间内,物体的位移是:∆s=OA−OA=s(t+∆t)−s(t)求增量1000(2)在时间段(t+Δt)－t=Δt内，物体的平均速度00为:__s(t+∆t)−s(t)∆s00v==求增量比(t+∆t)−t∆t00(3)当Δt越来越小,平均速度就越来

3、越接近于t时刻的0瞬时速度v,于是当Δt→0时,平均速度的极限就是瞬时0速度v,即0∆ss(t+∆t)−s(t)v=lim=lim.取极限∆t→0∆t∆t→0∆t引例2.曲线切线的斜率播放y曲线在M点处的切线y=f(x)N割线MN的极限位置MTTMC(当φα时)Oαϕx0xx0+∆x(1)求增量.给x0一个增量∆x∆∆yfx=+−(xfx)()00(2)求增量比.Mxy(,)00变到Nx(,)00++∆∆xyy，当∆x很小时，纵坐标来不及有很大变化，从而可用割线MN的斜率近似代替切线MT的斜率∆yfx(+−∆xfx)()00=∆∆xx(3)求极限.∆yfx(00+−∆

4、xfx)()k=tanα=lim=lim∆∆xx→→00∆x∆x两个问题的共同之处在于:所要解决的数学问题相同：变化率问题；处理问题的思想方法相同：矛盾转化的辩证方法；数学结构相同：增量比的极限.二.导数的定义1.函数在一点处的导数与导函数定义上面两个问题可归纳为如下极限设函数f(x)在U(x0)有定义,且:x0+∆x∈U(x0).∆yf(x+∆x)−f(x)fx(+−∆xfx)()0∆y0lim=lim00.如果极限∆x→0∆∆lim∆xx→→x00∆x→0∆=xlim存在,则称函数∆∆xxf(x)在点x处可导,极限值称为f(x)在点x处的00导数.记为d()fxdy

5、0.fx′()0，y',xx=0，dxxx=0dx∆y即y′==f′(x0)=limxx0∆x→0∆xfxfx()−()0=limxx→0xx−0若极限∆y=f(x)−f(x)0∆x=x−x0不存在,就说函数在点x0不可导.∆y若lim=∞,也称在的导数为无穷大.∆x→0∆x若函数在开区间I内每点都可导,就称函数在I内可导.即对∀x∈(a,b),有∆yf(x+∆x)−f(x)f′(x)=lim=lim∆x→0∆x∆x→0∆x此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:dydf(x)y′;f′(x);;.dxdx注意:f′(x0)=f′(x)x=x0设存在,则f(x0−h)−

6、f(x0)−f′(x)lim=________0.h→0h例1.求函数(C为常数)的导数.f(x+∆x)−f(x)解:y′=lim∆x→0∆x即df(x0)f′(x0)=f′(x)x=x0dx例2.求函数nnf(x)−f(a)x−a解:=lim=limx→ax−ax→ax−an−1n−22n−3n−1=lim(x+ax+ax++a)x→aµ说明：对一般幂函数y=x(µ为常数)µµ−1(x)′=µx例如，1−111−1(x)′=(x2)′=1x2=()′=(x−1)′=−x−1−1=22x2xx例3.求函数的导数.解:f(x+h)−f(x)sin(x+h)−sinx=

7、lim=limh→0hh→0hh2cos(x+)=lim2h→0h=limcos(x+)=cosxh→02即(sinx)′=cosx类似可证得(cosx)′=−sinxx例4.求函数fxa()=(aa>≠0,1)的导数.解由定义有fxhfx(+−)()xh+xaa−fx′()=lim=limh→0hh→0hhhxa−1xa−1=lima=alimh→0hh→0hxln=aaxx即(aaa)′=lnxx特别的,()ee′=例5.求函数的导数.f(x+h)−f(x)ln(x+h)−lnx解:=lim=limh→0hh→0h1=lim⋅h→0h