任意角三角函数的教学评价与反思(陈雪梅)

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1、“任意角的三角函数”的教学反思河北师范大学数学与信息科学学院陈雪梅一、教学反思以学生的学习为视角，可以对这节课的教学进行如下反思：（1）学生对课堂提问，回答是否积极？学生能否独立或通过合作探索出问题的结果？（2）学生处理课堂练习题情况如何？可能的原因是什么？（3）教学任务是否完成？下面我们着重分析一下提问的效果。在回答教学设计中的各项提问时，大多数学生存在一定困难，特别是“问题1：任意画一个锐角α，借助三角板，找出sinα的近似值．”和“问题5：现在，角的范围扩大了，由锐角扩展到了0°~360°内的角，又扩展到了任意角，并且在直角坐标系中，

2、使得角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合．在这样的环境中，你认为，对于任意角α，sinα怎样定义好呢？”对于问题1，除了由于时间久而遗忘有关知识外，学生不熟悉独立地由一个锐角α，构造直角三角形并求锐角三角函数的过程是主要原因，他们更习惯于在给定的直角三角形中解决问题。对于问题5，教师强调“在坐标系下怎么样？”后，有学生开始尝试回答。这说明这个问题要求的思维概括水平较高，学生仅利用锐角三角函数的有关知识，难以形成当前研究任意角三角函数的思想方法。因此，教师必须要提供必要的脚手架。教师在课堂上提供了练习：（1）；cosπ；（2）sin；s

3、in；sin（－）．学生对（1）的回答并不理想，尤其是计算cosπ，没有一个学生回答是﹣1.学生的这种表现可能是他们还没有形成一个较清晰、完整的计算任意角三角函数的算法步骤，所以即使遇到一个简单的问题，也不知如何操作。从教学进程看，原来教学设计中的教学任务过于丰富，超出学生的学习能力。方案中一节课要完成的教学任务可能需要2至3个课时。二、形成新的教学设计的理论基础1.数学概念二重性理论以色列数学教育家Sfard（1991，1994）等人提出，数学中，特别是在代数中，许多概念既表现为一种过程操作，又表现为对象。例如，加法，a+b既代表两个集合

4、中的元素合并或添加起来的过程，又代表合并或添加后的结果。函数：既代表定义域中的元素按对应法则与值域中元素做对应的过程，或者给自变量输入一个数值，则按一定规律输出一个值的过程，又代表特定对应下变量之间的关系结构。一个数学概念往往兼有这样的二重性：过程—对象，算法—结果，操作行为—结构关系。相应地，它们分别具有以下特性：动态—静态，细节—整体；历时（继时）—共时（同时）。Sfard等人的研究进一步指出，概念的过程和对象这两个侧面有着紧密的依赖关系。形成一个概念，往往要经历由过程开始，然后转变为对象的认知过程。即在概念形成过程中，遵循“过程先于对

5、象发展”的认知顺序。Sfard认为数学史上概念产生、形成的许多例子都证明了这一发展方式，许多研究也表明个人的认知在这一点上是一致的。Piajet也有类似的论述，“数学的抽象并非来自于操作的对象，而是来自于操作本身，这是数学抽象的基础。”概念在过程阶段表现为一系列的固定步骤，具有操作性，相对直观，容易仿效学会。但是，由于操作过程的历时性，即步骤前后次序排列，并且每一步中包含不少细节，这种非结构的、序列的认知图式，只能以逐条的、庞大的方式进行加工，因此对于容量相当有限的工作记忆，很难加工和储存，导致认知的重负。如果概念停留在过程阶段，思维所考虑

6、的因素呈序列动态，就不易全面掌握，较难抓住要害和实质。当概念进入对象状态时，便呈现一种静态结构关系，这种图式包含的节点越多，层级越丰富，信息容量就越大，而且便于检索，使得可以从整体上把握概念的本质。Sfard认为，对象与“概念意象”(conceptimage)类似，是思维的虚构物，并非真实的存在。对象的形成使我们的经验有序和结构化。对象不能独立于概念图式存在，即对象是对已有的图式和新信息进行再加工、重组的结果。概念的结构对象是“关系性理解”（Skemp,1976）的基础—“知道做什么，并知道为什么这样做”。就象一个人运用分类寻找信息，或依靠

7、地图寻找某条街道。“对象”的形成以直觉思维或反省思维为基础，意味着许多隐喻关系的诞生，意味着对程序性经验的内化、压缩之后产生的一个“附加值”（addedvalue）——对于不同数学概念、符号、性质及其关系的深刻洞察。“对象”的内部表征主要是意象的，即数学家所说的一些模模糊糊的图形、符号、甚至人性化的东西，共同组成一幅内隐的、整体的、较少细节的具体化图式。由于具体化图式的结构是非命题的，因此难于用言语表述，但是以这种图式为基础产生的事实知识（factualknowledge）可以用词汇描述。2.APOS理论模型根据Piaget对儿童数学逻辑思

8、维发展的研究，在建构一个更复杂的数学结构时，反省抽象过程通常涉及四种特殊的建构过程：（1）内化：为了建构所知觉的现象的意义，把一连串具体的活动转换为可以在头脑中进行的运算。学生因