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《第07章%20向量代数与空间解几1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第七章向量代数与空间解析几何前面各章我们介绍的是一元函数的微积分，涉及的是单个自变量的函数.一元微积分的方法也可用于讨论多元函数，多元函数的自变量是多元数组或者称为向量.为此我们介绍向量代数与空间解析几何，其方法和内容将有助于多元微积分内容的展开.本章将讨论向量的概念、运算及相应的几何意义，进而讨论空间直角坐标系下的平面、直线的方程以及它们的位置关系，另外介绍曲面和曲线方程包括典型的二次曲面及其标准方程.7.1空间直角坐标系在空间上选定一点O作为原点，过点O作三条两两垂直的数轴，分别标为x轴、y轴、z轴，通常把x轴和y轴置于水平面上，而让z轴取
2、铅直向上方向，这样就构成了空间直角坐标系(见图7-1).x轴、y轴、z轴分别称为横轴、纵轴、竖轴，统称为坐标轴.我们规定坐标轴的正向依x、y、z的次序符合右手法则。所谓右手法则指的是：伸平右π手，使拇指与其他四指垂直，当四指从x轴的正向转到指向y轴正向(转动角度为)时，拇指2的指向是z轴的正向，如图7-2所示.在图7-1中，坐标轴的标号和指向可以改变，例如将x，y，z，依次改为z，x，y，只要依x、y、z的次序符合右手法则即可.zzOyOyxx图7-1图7-2由任意两条坐标轴所确定平面称为坐标平面.三个坐标轴确定了三个坐标面，包含x轴及y轴的坐
3、标面称为xOy坐标面，另外两个是yOz坐标面及zOx坐标面。在上面建立的坐标系中，坐标轴、坐标面都是两两垂直的，所以我们称它为三维空间直角坐标系.三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做一个卦限.xOy坐标面上方和下方各有四个卦限，我们把xOy面上的第1,2,3,4象限上方的四个卦限依次称为第1,2,3,4卦限，而下方的四个卦限依次称为第5,6,7,8卦限.设M为空间一已知点.过点M作三个平面分别垂直于x轴、zy轴、z轴，它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P、Q、R（图7-3），这三个点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x,y,z.于是空R间一点
4、M就唯一地确定了一个有序数组(x,y,z);反过来，给定一个有序数组(x,y,z),我们可以在x轴上取坐标为x的点P，在y轴M上取坐标为y的点Q,在z轴上取坐标为z的点R,然后通过P、QOQy与R分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，这三个平面的交点PM便是由有序数组(x,y,z)所确定的唯一点.这样，就建立了空间的点M和有序数组(x,y,z)之间的一一对应关系，即为x点M(x,y,z).图7-3这组数x,y,z就叫做点M的坐标，并依次称x,y和z为点M的横坐标，纵坐标和竖坐标.坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).对于空间中两点M1(
5、x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)，我们定义它们的距离为7-1222
6、M1M2
7、=()x21−+−+−xy()21yz()21z，不难看出这个定义与我们通常理解的距离是完全一致的.这样建立了空间直角坐标系的空间就3成为具有度量(距离)的3维几何空间，记为R.例7.1求点M(1,−2,3)关于点P(−1,4,1)的对称点N.解设点N的坐标为(x,y,z)，根据点与坐标的关系可知，M,P,N的横坐标是过它们而垂直于x轴的平面与x轴的交点Mx,Px,Nx的坐标，由P是线段MN则的中点可知Px是线段MxNx的中点，同理M,P,N的纵坐标和竖坐
8、标也有这样的结论，于是xyz+−+123=−==1,4,1，222解得：xyz=−3,=10,=−1，从而得到点N为：N(3,10,1)−−.7.2.向量及其线性运算7.2.1向量的概念在中学物理学中我们就知道，有些物理量仅由数值大小来度量，例如时间，距离，质量和温度等，称之为数量或标量；而另一些物理量不仅有大小而且有方向，例如力、速度和加速度等，称之为向量或矢量.dddd为区别于数量，通常用粗体字母或带箭头的字母表示向量，例如a,b,i,F或abi,,,F等.由于向量有大小和方向两个要素，而具备这两个要素的最简单的几何图形是有向线段，因此我们
9、用有向线段来表示向量.如果向量v用有向线vBgggd段AB表示，其长度表示向量v的大小，称为向量v的模，记为
10、
11、v，A到AgggdB的指向表示向量v的方向，那么我们称AB为v的一个几何表示(如图7-4).图7-4d我们规定长度是零的向量为零向量，记为0或0.零向量的方向规定为任意的，即可根据情况任意指定.显然，两个有向线段，只要它们长度相等，指向相同，即使处在不同位置，它们仍然表示相同的向量.也就是说，虽然向量的几何表示不唯一,但起点不同而大小、指向均相同的有向线段都表示同一个向量.因此我们讨论的向量被称为自由向量，它具有平移不变性.从而我们规
12、定：如果两个向量大小相等，方向相同，则称这两个向量相等.也基于此，为方便起见,我们有时不把有向线段和它表示的向量做严格区分，而常把有向gggdgggd
