空间坐标与平面向量

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1、§2−2空間坐標與空間向量(甲)空間坐標的引入zP(a,b,c)(1)建立空間坐標系：yQ(a,b)yOxOxL在空間中的一個平面E上，建立一個直角坐標系，以O為原點，兩軸是x軸與y軸，則平面上每一點都有一個實數對(x,y)做為坐標。但在不在這個平面上的點如何描述呢？不在此平面上的點P必在平面E的上方或下方，所以對於空間中一點P做一直線L垂直E於Q，假設Q點的坐標為(a,b)，再將L以Q為原點坐標化，設P點在數線L上的坐標為c，則a,b,c三數可以清楚的定出P點的空間位置。為了避免過P點且垂直平面E的L隨P點不同兒平行變動，所以固定過原點O做一數線垂直平面E，並稱之為z軸。(2)空間坐標系：

2、zC(0,0,c)P(a,b,c)B(0,b,0)OA(a,0,0)yQ(a,b,0)x[名詞解釋]：x軸、y軸再加上z軸就成為一個空間坐標系，這三個軸稱為坐標軸。它們兩兩互相垂直，且交會於同一點，即原點O，x軸與y軸所決定的平面稱為xy平面，同理亦有yz平面、zx平面，這三個平面稱為坐標平面。[如何決定坐標]：P為空間中一點，若過一點P做一直線L垂直xy平面，設交點為Q，Q點在xy平面的坐標為(a,b)，再考慮P點在z軸上的投影點C，設C點在z軸上的直線坐標為c，則將P點的坐標記為(a,b,c)，其中a,b,c分別為P點的x,y,z的坐標。~2−2−1~[討論]：(a)若Q對x,y軸的投影

3、點為A、B點，請問P點對於x,y軸的投影點會不會是A、B點呢？(b)這樣定義的P點坐標會不會是唯一呢？zP(3)空間中的距離公式：設P(x1,y1,z1)、Q(x2,y2,z2)為空間中兩點，⎯222則PQ=(x−x)+(y−y)+(z−z)。121212[證明]：如圖，R(x1,y1,z2)、O⎯2⎯2⎯2RyPQ=PR+RQ⎯222⇒PQ=(x−x)+(y−y)+(z−z)。121212xQ(4)投影與對稱點：(a)點P在各坐標平面與各坐標軸的投影點：點P(x,y,z)對yz平面之投影點為(0,y,z)。點P(x,y,z)對zx平面之投影點為(x,0,z)。點P(x,y,z)對xy平面之

4、投影點為(x,y,0)。點P(x,y,z)對x軸之投影點為(x,0,0)。點P(x,y,z)對y軸之投影點為(0,y,0)。點P(x,y,z)對z軸之投影點為(0,0,z)。(b)點P對於各坐標平面與各坐標軸的對稱點：點P(x,y,z)關於yz平面之對稱點為(−x,y,z)。點P(x,y,z)關於zx平面之對稱點為(x,−y,z)。點P(x,y,z)關於xy平面之對稱點為(x,y,−z)。點P(x,y,z)關於x軸之對稱點為(x,−y,−z)。點P(x,y,z)關於y軸之對稱點為(−x,y,−z)。點P(x,y,z)關於z軸之對稱點為(−x,−y,z)。結論：(a)點P與其對於各坐標平面與各

5、坐標軸的對稱點的中點為點P在各坐標平面與各坐標軸的投影點。(b)點P與其在各坐標平面與各坐標軸的投影點之距離為點P到各坐標平面與各坐標軸的距離。~2−2−2~[例題1]如圖，長方體OABC−DEFG中，已知B(1,3,0)、D(1,0,2)z⎯(1)求其它頂點的坐標。(2)AF的長度。GFDEOyCABx[例題2]如右圖，有一邊長為1的正立方體，今置頂點A於空間坐標系中之原點(0,0,0)，頂點B於正z軸上，則頂點C之z坐標為。3Ans：(0,0,)(88自)3BCA⎯[例題3]空間中線段AB在xy平面、、yz平面及zx平面上的投影長，分別為25、32⎯2，則AB長度為何？Ans：21(練習

6、1)設點P(−3,14)，則點P到yz平面的距離為，點P到x軸的距離為。Ans：3，17(練習2)已知一正四面體，其中三頂點坐標分別為(0,0,0)，(2,0,0)及(1,1,2)則另一點之坐標為或。5−2Ans：(1,−1,2)、(1,,)(80自)33~2−2−3~(練習3)∆ABC之三頂點坐標為A(4,2,4)、B(−2,−1,6)、C(1,4,−2)，則∆ABC為(A)等腰三角形(B)正三角形(C)銳角三角形(D)直角三角形(E)鈍角三角形。Ans：(A)(D)(練習4)在第一卦限內有一點P，P到x軸、y軸、z軸的距離依次為17、5、10，則P點的坐標為；若不限制P點在第一卦限內，則

7、符合題意的之P點共有個。Ans：P(3,1,4)，8⎯(練習5)線段PQ在xy平面、yz平面及zx平面上的投影長，分別為13、5、⎯20，則PQ長度為何？Ans：29(乙)空間向量的坐標表示法(1)空間向量的坐標表示：仿照平面坐標系中向量的表示法，在空間坐標系中，向量也可以用坐標表示。空間中兩點A(a1,a2,a3)、B(b1,b2,b3)，將向量AB的起點A移至原點O，B點移至P點，此時P點的坐標為(b1-