直线二级倒立摆文档

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1、一、直线二级倒立摆的特点直线二级倒立摆是一个典型的非线性、高阶次、多变量、强耦合的不稳定系统。首先我们通过二级倒立摆的机械结构来推导其数学模型，然后进行模型的线性化，最后得到系统的线性状态空间模型。直线二级倒立摆是一个开环不稳定的系统，因此我们需要设计控制器来控制小车运动从而使两级摆杆都保持与地面垂直状态。在控制直线二级倒立摆的过程中能够有效地反映控制中的许多关键问题，如系统的非线性、鲁棒性等，因此对倒立摆的研究一直是控制领域中经久不衰的课题。对于直线二级倒立摆常用的经典控制方法有LMI控制和PID控制，现代控制方法有LQR控制和极点配置法，还有H无穷控制、模

2、糊控制等等。二、直线二级倒立摆的结构和工作原理图.1直线二级倒立摆系统主要由以下几部分组成，如图1所示。其机械本体主要包括底座（导轨）、小车、驱动小车的交流伺服电机、同步皮带、一级摆杆、二级摆杆、限位开关及光电码盘等。通过控制交流伺服电机，带动皮带转动，在皮带的带动下小车可以在导轨上运动从而控制两级摆杆的运动状态。交流伺服电机带有光电式脉冲编码盘，根据脉冲数目可得出工作轴的回转角度，由传动比换算出小车直线位移。在小车的运动导轨上有用于检测小车位置的传感器，小车位置的信号被传送给控制系统，通过控制算法计算出控制量控制电机，从而控制小车的位置，使两级摆杆垂直于水平

3、面。我们的目的是设计一个控制器，通过控制电机的转动，使两级摆杆稳定在垂直于水平面的位置。三、直线二级倒立摆的数学模型若忽略空气阻力和各种摩擦力之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和质量均匀的摆杆组成的系统，如图.2所示。我们做如下假设：M——小车质量m1——一级摆杆质量m2——二级摆杆质量θ1——一级摆杆与垂直向上方向的夹角（摆杆初始位置为垂直向下）θ2——二级摆杆与垂直向上方向的夹角（摆杆初始位置为垂直向下）x——小车的位移L——一级摆杆和二级摆杆转轴之间的距离l1——一级摆杆转动轴心到一级摆杆质心的长度l2——二级摆杆转动轴心到二级摆杆质心的长度F——加

4、在小车水平方向上的外力b——小车与导轨间滑动摩擦系数b1——O1转动摩擦阻力矩系数b2——O2转动摩擦阻力矩系数I1——一级摆杆对其质心的转动惯量I2——二级摆杆对其质心的转动惯量θ2轴Y二级摆杆θ1一级摆杆FX轴导轨小车X图.2由于Lagrange方程是以能量观点建立起来的运动方程式，列出系统的运动方程式只需从两个方面去分析，一个是表征系统运动的动力学量，系统的动能，另一个是表征主动力作用的动力学量，广义力。故对于复杂系统的数学建模常采用Lagrange方程来求解系统的动力学方程，其具有概念清晰、具有一般性和可以简化建模过程等优点。对于同时受到保守力和损耗力

5、作用的直线二级倒立摆系统的Lagrange方程为：dTTVDF(1)dtqqqqqiiiii其中，qi为广义坐标，此处为小车的位移x和各级摆杆的角度θ1、θ2；Fqi为作用在系统上的广义力，当q0=x时，Fqi=F；当q0=θ1,θ2时，Fqi=0；即：dTTVDF(2)dtxxxxdTTVD0(3)dt1111dTTVD0(4)dt2222T、V、D分别是系统的动能、势能和

6、损耗能，表达式分别为：nnnTTi,VVi,DDi(5)i0i0i0n为倒立摆的级数（此处n=2）；Ti为小车和各级倒立摆的动能；Vi为小车和各级倒立摆的势能，Di为小车和各级倒立摆的损耗能。小车动能：12TMx(6)02一级摆杆动能：22121ddT1I11m1xl1sin1l1cos1(7)22dtdt二级摆杆动能：22121ddT2I22m2xLsin1l2sin2Lcos1l2cos2(8)22dt

7、dt小车势能：V0(9)0一级摆杆势能：Vmglcos(10)1111二级摆杆势能：2VmgLcoslcos2(11)2212小车损耗能：12Dbx(12)02一级摆杆损耗能：12Db(13)1112二级摆杆损耗能：12Db(14)22212对于直线二级倒立摆，由式(5)得系统的总动能：TTTT0121Mmmx21Iml2mL221Iml22(15)12111212222222mLlsinmlmLxcosmlxcos2

8、22112112112222系统的总势