宏观经济均衡发展的数学理论(Ⅲ)

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1、维普资讯http://www.cqvip.com2003年6月应用数学与计算数学学报第17卷第1期June，2003C0MM．0NAPPL．MATH．ANDC0MPUTv0l

2、17No．1宏观经济均衡发展的数学理论(III)耿显民(南京航空航天大学理学院，江苏南京，210016)摘要：研究了前向延迟型动态投入产出模型x(t)：A(t+1)+NX(t+1)一(t)]和x(t)：AX(t+1)+B[X(t+1)一(t)]+S(t)的解向量和+B的系数对经济发展的影响，证明了使经济崩溃的向量集合的存在性．对X(t)=AX(t+1)+B[X(t+

3、1)一(t)]前向延迟型动态投入产出模型，给出了经济发展的最快速度；证明了降低消耗系数和投资系数将提高经济效率和经济发展速度．关键词：非负不可约矩阵，经济崩溃集，最大特征值，Perron向量．1．引言由于动态投入产出模型在经济发展中的巨大作用和理论上的复杂性，引起了众多学者的兴趣和学术上的争论。在市场经济和计划经济并存的混合经济形态中，动态投入产出模型的稳定解是经济稳定发展及宏观调控的依据；该经济模型稳定解的存在性和可运行集的存在性，揭示了经济波动性发展的规律。本文对开放性和封闭性两种时滞为1的前向延迟型动态投入产出模型，证明了使经济崩溃

4、的向量集合的存在性，给出了封闭性动态投入产出模型稳定解及经济发展的最快速度；证明了降低消耗系数和投资系数将提高经济效率和经济发展速度。本文第2节证明了经济崩溃向量集的存在性；第3节给出了时滞为1的动态投入产出模型稳定解及经济发展的最快速度。2．经济崩溃集的存在性我们以A表示投入产出消耗系数矩阵，B表示投资系数矩阵。设A为非负不可约、可逆的方阵，B非负且A+B为可逆的方阵，A的每行至少有两个非0元素．令D=(—A)(A+B)，A1，2⋯．，为D的特征值，我们已证存在1=p(D)>0，并且对应1的D的Perron向量唯一存在【．令E1={：0

5、<≠p(D)：A1或一—2X1L+1≤<0，k=2，3，⋯，m我们已知E是使经济最终崩溃的那些D的特征向量所对应的特征值的集合，我们不妨称其为经济崩溃集．E所含元素的多少对经济发展的影响很敏感．对B三0的情况，华罗庚已证实了E1的存在性[2-4】．本文对B0，在IIA+BII1的条件本文1999年12月29日收到维普资讯http://www.cqvip.com2应用数学与计算数学学报17卷下，证明了E1是非空的；其中，IIDl1=⋯ma，x∑I奶I．这里证明的结论只是理论上l‘t‘m一以下，设=(。)，X=(，⋯．，)，表转置．弓I理2．

6、1p(D)p((一A)一)．证明因A为非负不可约矩阵，故A有正特征向量存在．由【5】的第八章，对i=1，2⋯．，m及n1有∑。『tmmai,nXil<0成立，知p(A)=tl姆—+十O0[L∑‘一。剀i=1，2，⋯，m(2．1)令=(一A)_。，由(2．1)我们只须证对任意f=1，

7、2⋯．，及i=1，2⋯．，m，有mm∑d∑石(2．2)j=lj=l我们令C=A+B=(c)，D=·C；利用归纳法，注意IICII1有mmmmmm∑如=∑∑J=∑∑c∑(2．3)j=lj=lk-1k-1j=lk-1mmmmmmmm∑dg=∑∑d伽d=∑d∑d∑·∑石=∑西j=lj=lk-1k-1j=lk-1j=lj=l设f=h时(2．2)成立，则mmmmm∑d¨=∑∑dd=∑d∑dj=lj=lk-1k-1j=l维普资讯http://www.cqvip.com1期耿显民：宏观经济均衡发展的数学理论(III)3由归纳假设及(2．3)知故对任l=

8、1，2⋯．；(2．2)成立．对(2．2)取极限，由(2．1)且p知引理成立．因为p((，一A)一)=F1，由引理2．1即知p(D)1．引理m∑2．2若D只有一个正特征值，则当方阵D的阶数m>7时，存在k∈．{2，3⋯．，mn．，)，使．证明用反证法．若对任k=2，3⋯．，m；I,~kl>耳p／A)，由矩阵特征值与矩阵元素p(<一间的关系，知∑t=trD，由D的非负不可约及引理2．1，得m∑H％一1=坩。>∑即=m∑南【一1)p(A)一一2)p(A)+1】>0(2·4)．n．，由A的构造知IIAll<1，故0

9、m一1)p(A)一(m一2)p(A)+1>0一一一一一脬一一一注意m>7，解此不等式得1<一或+当m充分大时，我们得p(A)0或p(A)1；此与0