向量分析介绍 (Rich Wang)

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1、向量分析介紹(RichWang)§向量的性質與運算向量(vector)：具有大小與方向的量(三度空間)。表示法：(1)幾何圖示：箭頭表方向，長度即大小。(2)分量表示：向量可表示成：AA=<,,AAA>=xA+yA+z，xyzxyz其中xyz,,分別表示沿著x,y,z軸方向之單位向量。JJJGPxyz(,,)andQxyz(,,)⇒=PQ111222212121(*P是起點，Q是終點，計算時用”終點座標”減”起點座標”，”後−前”)JJJGJJJG例題1：PQ()()5,4,3,1,2,3,試求PQ,QP.若假設A

2、A=<,,AAA>=xA+yA+z,xyzxyzBB=<,,BBB>=x+By+Bzxyzxyz(1)向量的絕對值或大小或長度222AAAAA==++xyz(*)單位向量(unitvector)：長度是1的向量。(*)位置向量(positionvector)：起點在原點的向量，所以向量分量等於終點的座標值。GJG位置向量通常以r或R表示。JJJG若假設上述PQ向量之起點P為原點，即P(0,0,0)，而Q改成Qxyz(,,)，我們可以GJJGJJJGJJJG得到：rorRPQOQ====<>xyz,,。222JGJG例題2：A=

3、<4,-1,2>,求的A=A值.例題3：求例題1中線段PQ的值.(2)向量的相等：具有相同的大小與方向。JGJG若AB=⇔=ABABAB,,==，即各分量相等，反之亦然。xxyyzz(*)兩向量相等僅需大小及方向相同即可，與兩向量彼此所在的相對位置無關！所以可將任一向量隨意平移後，仍與原向量相等。這個特性稍後將會用來解釋向量加法的圖示結果！JGJGJJGJAGJJG(*)產生與A同方向的單位向量：uAA==JG,AuA。AJG例題4：求例題2中與A同方向的單位向量。1向量分析介紹(RichWang)(3)向量的加減：AA=<,,AA>xyz⇒±=ABA

4、BABAB<±,,±±>xxyyzzBB=<,,BB>xyz向量的加減的平行四邊形圖解法：C=A+BC=A–B=A+(-B)ACBBBCBA-BDAAD=A+(-B)由上述向量的加法圖解，我們可以知道：我們可以將一向量任意分解成兩(或多個)向量的和！A=a+b=c+d=e+fbaAfdec(*分解成兩個互相垂直的兩個分量是經常採用的！)(4)向量的乘積有兩種：dotproductandcrossproduct(a)點積、純量積或內積(dot,scalar,orinnerproduct)=>(結果為純量)AB⋅=ABcosθ=ABAB++AB，xxyyz

5、z其中θ為AB,間之夾角，取值範圍：000≤<θ180。A‧B=

6、A

7、

8、B

9、cosθJGJG⎛⎞(*)夾角大小可以經由內積獲得：θ=cos−1⎜⎟JABGJG⋅B⎜⎟AB⎝⎠θA

10、B

11、cosθ運算的結果可以解釋為：JGJGJG1)向量B在A方向上的投影大小乘以A的大小或JGJGJG2)向量A在B方向上的投影大小乘以B的大小。2向量分析介紹(RichWang)JGJJGJG所以想要求得已知向量A在任一方向u上的投影大小，就只要將向量與B方向的b單位向量做內積即可，因此可以利用下列計算式：JGJGJJGJGBAu⋅=⋅bAJG；BJG也就是說在直角座標系下

12、向量A可寫成：JGJGJGJGAA=⋅+⋅+⋅()xxAˆˆ()yyAˆˆ(zzˆˆ)NNxzˆ方向上的投影yˆ方向上的投影ˆ方向上的投影依照上述內積的定義，我們可以得到在直角座標系中各分量的內積結果與向量的分量表示法如下：xxˆˆ⋅=100xyˆˆ⋅=xzˆ⋅=ˆJGJGAB⋅=()AxAyAzBxByBzxyzxyzˆˆ++ˆˆ⋅()ˆˆ++yxˆˆ⋅=010yyˆˆ⋅=yzˆ⋅=⇒ˆ=++ABABABzxˆˆˆ⋅=ˆˆ001zy⋅=zz⋅=ˆxxyyzz內積的重要性質：JGJGJGJGJG1)BA=⋅1,B=Acosθ：表示向量A在B方向上的投

13、影(分量)大小。JGJGJGJGJGJG2)AB==⋅=1,ABcosθ：表示向量A,B夾角的餘弦值。JGJGJGJG3)ABBA⋅=⋅(commutative具交換性)JGJG22224)AAAA⋅==++AA(可用以計算向量的長度)xyzJGJGJGJGJGGJGG05)AB⊥⇔⋅=ABABcos(90)=0(A≠∧≠0B0)JGJGJGJGJJGJGP6)向量A在P方向上的投影分量：Au⋅p=⋅AJGPJGJGJGJG例題5：1)AB=<4,-1,2,>=<1,,-2yA>∧⊥B,求y;JGJGJGJG2)又若Cx=<,,0>y,試產生任一向量D

14、使得CD⊥。例題6：∆ABC的頂點分別是A(0,2,0),B(3,2,0),C(3,0,0);