分式方程综合练习[1]

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1、15.3　分式方程1．分式方程的概念分母中含未知数的方程叫做分式方程．谈重点分式方程与整式方程的区别　从分式方程的定义可以看出分式方程有两个重要特征：一是方程；二是分母中含未知数．因此整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含未知数．【例1】下列方程：①＝1，②＝2，③＝，④＋＝5.其中是分式方程的有(　　)．A．①②B．②③C．③④D．②③④解析：根据分式方程的定义知②③④是分式方程，故选D.答案：D2.分式方程的解法(1)解分式方程的基本思路：分式方程整式方程．(2)解分式方程的一般方法和步骤：

2、①去分母：即在方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程；②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于0的根是原方程的根，使最简公分母等于0的根不是原方程的根，必须舍去．(3)对分式方程解法的理解：①解分式方程的基本思想是转化，即把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程从而确定分式方程的解；②将分式方程转化为整式方程时，是将分式方程两边同乘最简公分母，当所乘的整式不为零时，所得整式方程与原分式方程同解；当所乘整式为零时，所求出的未知数的值就不是原分式方程的解；③在解分

3、式方程时，方程两边约去含有未知数的公因式时，若该公因式的值为零，会造成原方程失根，所以在解分式方程时，两边不能同时除以含有未知数的公因式；④验根的方法：代入原分式方程，看左右两边是否相等，但这种方法较麻烦，直接代入最简公分母验根较为简捷．解技巧分式方程验根的方法　把解得的未知数的值代入最简公分母较为简捷，但是不能检查解方程的过程中出现的计算错误，我们可以采用另一种验根的方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法可以检查解方程时有无计算错误．【例2】解下列方程：(1)＋＝；(2)－1＝.解：(

4、1)方程两边同乘x(x＋1)(x－1)，得7(x－1)＋3(x＋1)＝6x.解这个方程，得x＝1.检验：当x＝1时，x(x＋1)(x－1)＝0，所以x＝1是原方程的增根，即原方程无解．(2)方程两边同乘2x－5，得x－(2x－5)＝－5.解这个方程，得x＝10.检验：当x＝10时，2x－5≠0，所以x＝10是原方程的解．3．分式方程的应用分式方程的应用主要是列方程解应用题，它与列一元一次方程解应用题的基本思路和方法是一样的．列分式方程解应用题的一般步骤：①审：审清题意；②找：找出相等关系；③设：设未知数

5、；④列：列出方程；⑤解：解这个分式方程；⑥验：既要检验根是否是所列分式方程的根，又要检验根是否符合题意；⑦答：写出答案．解技巧构建分式方程的方法　(1)在实际问题中，有时题目中包含多个相等的数量关系，在列方程时一定要选择一个能够体现全部(或大部分)题意的相等关系列方程；(2)在一些实际问题中，有时直接设出题中所求的未知数可能比较麻烦，需要间接地设出未知数，或设出一个未知数不好表示相等关系，还可设多个未知数，即设辅助未知数．【例3】今年春季我国西南五省持续干旱，旱情牵动着全国人民的心．“一方有难、八方支援

6、”，某厂计划生产1800吨纯净水支援灾区人民，为尽快把纯净水发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前3天完成了生产任务．求原计划每天生产多少吨纯净水？解：设原计划每天生产x吨纯净水，则依据题意，得－＝3，整理，得4.5x＝900，解之，得x＝200.把x＝200代入原方程，成立，∴x＝200是原方程的解．答：原计划每天生产200吨纯净水．4．分式方程无解型问题解答分式方程无解型问题的方法是：首先将分式方程转化为整式方程，然后再将分式方程的增根(使分式方程的分母为零的未知数的

7、值)代入整式方程(因为方程若有增根，则增根是通过解整式方程而得到的，故它满足整式方程)，从而求出方程中的参数值．5．生活中的分式方程列分式方程解实际问题时，关键是从实际问题中找出等量关系．另外，还要注意对方程的根进行检验．检验时，要注意双重检验：既要根据所列方程进行检验，又要根据实际问题进行检验．举例：甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等．已知甲、乙两人每天共加工35个玩具，问甲、乙两人每天各加工多少个玩具？解：设甲每天加工x个玩具，则乙每天加工(35－

8、x)个玩具．根据题意，得＝，解得，x＝15.经检验，x＝15是原方程的解且符合实际意义．所以35－x＝35－15＝20(个)．答：甲每天加工15个玩具，乙每天加工20个玩具．【例4－1】已知关于x的分式方程＝1有增根，则a＝________.解析：去分母得a－1＝x＋2，将x＝－2代入得a－1＝0，解得a＝1.答案：1【例4－2】若关于x的方程＝＋2无解，求m的值．解：方程两边同乘(x－3)，得x－2＝m＋2(x－3)．整理，得m＝－x＋4