第4章 弯曲强度

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1、77第四章弯曲强度第四章弯曲强度图4.2杆件在垂直于其轴线的横向外力或外力偶作用下，其轴线将由直线弯成曲线，即产生弯曲变形，以弯曲变形为主的杆件通称为梁。梁是工程中常用的一类构件，如图4.1所示的车轴、房屋结构中的横梁、桥梁和飞机机翼等。若梁具有纵向对称面（图4.2），且梁上所有的外力（或外力的合力）都作用在该对称面内，则梁的轴线将在此平面内弯曲成一条曲线，这种弯曲称为平面弯曲或对称弯曲。图4.14.1平面弯曲梁的内力平面弯曲的梁，如按其约束情况，可简化为三种基本形式：简支梁、外伸梁和悬臂梁，图4.3a、b和c分别是它们的计算简图，图中是以杆的轴线代表梁。图a中左侧的固定铰支座限制梁的水平和竖

2、直方向的位移，一般有两个约束反力（支反力）分量，右侧的可动铰支座只限制梁的竖直位移，一般有一个支反力分量。图c中的固定端既限制水平和竖直方向的位移，又限制梁端面的转动，一般有两个支反力分量和一个支反力偶。图4.377第四章弯曲强度一、剪力方程和弯矩方程内力图考虑图4.4a所示受已知横力作用的任一简支梁，所取的坐标轴x一般与梁的轴线重合，其正向为自左到右。要求任一横截面横截面mm（其位置用坐标x度量）上的内力，应用截面法，若取切开后的左段梁为研究对象（图4.4b），为保持该段的平衡，横截面上应有切向力以及力偶M的作用，它们是实际上是右段梁对左段梁的作用，故和M是梁的两个内力分量，分别称为剪力和弯

3、矩。根据平衡方程（力矩平衡是以横截面的形心C为中心），，可求得剪力和弯矩以上求得的和的解析表达式，代表了梁任一横截面上的剪力和弯矩，分别称为剪力方程和弯矩方程，其中的反力可根据整个梁的平衡方程求出。若以右段梁为分析对象（图4.4c），也可以求得截面上的内力，但方向与以左段为对象算得的结果相反，因为两者是作用与反作用的关系。图4.4图4.5为了研究方便，对剪力和弯矩的符号作如下规定：凡使梁段产生顺时针方向转动趋势的剪力为正，反之为负；凡使梁段弯曲呈上凹形的弯矩为正，反之为负（图4.5）。按这一规定，对同一截面，无论是以左段梁还是以右段梁为分析对象，所求77第四章弯曲强度剪力或弯矩的符号总是一致。

4、例4.1图例4.1图示作用有均布载荷q的悬臂梁，试求任一横截面上的剪力和弯矩。解：对于悬臂梁，可截取靠近自由端的梁段为研究对象（图c），这样可以不必求悬臂梁的反力。在x处的截面，对待求的和M一般均设为正向，由平衡方程，，解得，所求弯矩为负值，说明弯矩M的实际方向与图示方向相反。若以左段梁为研究对象（图b），所得结果完全一样，读者可自行验算。根据梁的内力方程，若以轴线x为横轴、以或M为纵轴，可以分别绘制剪力和弯矩沿截面位置x变化的曲线图，称为剪力图和弯矩图，即梁的内力图。注意习惯上将剪力正值朝上，弯矩正值朝下，如图d、e所示。其中剪力和弯矩M都在截面A处达到数值上的最大值。例4.2画图示简支梁的

5、剪力图和弯矩图。解：（1）建立坐标系，由梁整体的平衡条件，，，求得支反力（2）由于梁上有集中力和集中力偶的作用，梁的内力方程在AC、CD和DB各段内是不同的。对AC段（0

6、作用的力偶Fa使对应截面的弯矩M产生突变，对剪力则无影响。二、梁的平衡微分方程图4.6从图4.6a所示的梁中截取出长为dx的微段，其左、右截面上的内力均设为正值，由于位置有微小的变化，微段右截面上的内力较左边的均有微增量，并设向上的分布载荷q为正（图b）。由平衡方程，，略去二阶微量项，得（4-1）（4-2）由以上两式，还可以得到下面的关系（4-3）77第四章弯曲强度以上三式给出了分布载荷集度q、剪力和弯矩之间存在的微分关系，称为梁的平衡微分方程。利用这些关系，可以确定剪力图和弯矩图的大致形状。如果常数（均布载荷），其图形为水平直线（零次曲线）；由式（4-1）知，图为斜直线（一次曲线），其斜率的

7、正负取决于q的正负；由式（4-2）和式（4-3）可知，图为二次曲线，其凹凸性取决于q的正负，水平切线的位置为的截面。将式（4-1）、（4-2）分别表示成积分形式，有（4-4）（4-5）例4.3图即在梁上的任一段（如AB段），剪力的增量和弯矩M的增量分别等于q图和图的面积。由此，若已知起始截面的剪力和弯矩，可以从左到右逐段计算梁上各控制截面（集中力，集中力偶的作用点，分布载荷的起点和终点）上的剪力和