空间向量(庞宏朝)

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1、空间向量一、空间向量的运算1、空间向量的坐标运算设，则，若，则2、空间直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向，建立空间直角坐标系（称右手直角坐标系）3、空间一点P的坐标确定过点P分别作三个坐标平面垂直的平面，分别交坐标轴与A、B、C三点，，，，若OA的方向与x轴正方向同，则，反之，同理可确定y，z，∴例1、如图（1）是棱长为1的正方体，则、的坐标为。例2、如图（2）正三棱柱的底边长为2，高为3，则点、、的坐标为。例3、如图（3）正四棱柱的底面边长为2，高为3，E为PB中点，求。图（1）图（2）图（3）二、平面的法向量1

2、、法向量的定义，如果，则称是的法向前量。2、法向量的求法设，是平面内不共线的两个向量，为的法向量，则由得取的某个值，从而得、的值，进而求出。注：零向量不能做法向量。例：在图（3）中，求面PAD的一个法向量。解：设是平面PAD的一个法向量，则取，则三、利用空间向量求角1、异面直线所成的角如图，设异面直线AB与CD所成角为，向量、所成角为，则例1．（2009年全国Ⅰ卷第9题）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】因为题中、、是共点且相互垂直的三个基向量，故可通过建立空间直角坐标系来达到解题目的。【解析】以为

3、原点，以、、的正向分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系。设侧棱与底面边长为1，则（，0，0），（，，0），（0，，0），所以=（，，0），=（，，0）又=（，，0），且（0，0，），所以（，，），从而（，0，），故.（答案：）例2.（2009年四川卷第18题）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，且PA=AD=2，E、F分别为棱AD、PC的中点.求异面直线EF和PB所成角的大小；【解析】以直线AB为x轴，直线AD为z轴建立间直角坐标系，如图，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).∵E为AD中点，

4、∴E(0，1，0).又F为PC中点，∴F(1，1，1).∴又∴cos<>=90°,∴异面直线EF和PB所成角的大小为90°.练习1.（2008年全国Ⅱ第5题）已知正四棱拄中,,为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．（答案：）2.（2009年安徽第7题）如图，三棱锥P-ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB(1)求证：AB平面PCB；(2)求异面直线AP与BC所成角的大小；（答案：…）(3)求二面角C-PA-B的大小的余弦值。（答案：…）2、直线和平面所成角设与的法向量所成角为，直线AB与所成角为，则例1（2009

5、年北京第16题）如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上.（1）求证：平面平面；（2）当且为的中点时，求与平面所成角的大小.【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系设，，则（，0，0），（，，0），（0，，0），（,0，0）,（,0，）(1)（，，0），（,0，）,（，，0）∴,∴，，∴平面，又平面∴平面平面.（2）当且为为的中点时,（,0，），（，，）.所以（，，）.由（1）知是平面的一个法向量，且设（，，0）.设与平面所成角的大小为，则，∴即与平面所成的角为.DPEABC例2．（2008年山东卷第19题）如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，底面，为的中点.（Ⅰ）求证：

6、平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成的角；[解析]如图所示，以点为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，PEABDCzxy则相关点的坐标为，，，.（Ⅰ）由于，，，所以，，所以而，所以平面，∵平面，∴平面平面（Ⅱ）设是平面的一个法向量，则，由于，，所以有，令，则，即，再设直线与平面所成的角为，而，所以，∴，因此直线与平面所成的角为练习1.（2009年湖南第18题）如图，在正三棱柱中，,,点是的中点，点在上，且.(Ⅰ)证明：平面平面；（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值.（答案：）2.（2009年湖北第19题）已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=A

7、D=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的大小；（Ⅲ）求二面角P一EC一D的大小．（答案：（Ⅱ））（答案：（Ⅲ））3、平面与平面所成角设分别是二面角的半平面、的法向量，二面角的大小为，所成角为，则求时，先求出，然后结合图形确定为锐角还是钝角，求出，最后得出。例1．（2009年全国Ⅰ卷第19题）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面,,,点在侧棱上，.（1）证明：是侧棱的中点；（2）求二面角的大小.【解析】以D为坐标原