判别孪生三生四生五生六生素数的初等证明

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1、判别孪生三生四生五生六生素数的初等证明         务川县实验学校王若仲(王洪)摘要:运用特异奇合数的性质,探讨如何判别孪生素数、三生素数、四生素数、五生素数、六生素数、七生素数、八生素数。关键词:特异奇数特异奇合数孪生素数孪生素数的概念:当两个素数的差为2时,这样的两个素数称为孪生素数。如:3和5,5和7,11和13,17和19,29和31等等。三生素数的概念:若有三个素数,其中有两个素数的差为2,有两个素数的差为4时,这样的三个素数称为三生素数。如:3和5以及7,5和7以及11,11和13以及17,17和19以及23等等。四生素数的概念:若有四个素数

2、,其中有两对素数的差为2,有两个素数的差为4时或者其中有两对素数的差为4,有一对素数的差为2时,这样的四个素数称为四生素数。如:5和7以及11和13,11和13以及17和19,13和17以及19和23等等。五生素数的概念:若有五个素数,其中有两对素数的差为2,有两对素数的差为4时,这样的五个素数称为五生素数。如:7和11以及13以及17和19,11和13以及17和19以及23等等。六生素数的概念:若有六个素数,其中有三对素数的差为2,有两对素数的差为4时或者其中有三对素数的差为4,有两对素数的差为2时,这样的六个素数称为六生素数。如:3和5以及7和11以及1

3、3和17,5和7以及11和13以及17和19,7以及11和13以及17和19以及23等等。七生素数的概念:若有七个素数,其中有四对素数的差为2,有三对素数的差为4时或者其中有三对素数的差为2,有三对素数的差为4时,这样的七个36素数称为七生素数。如:3和5以及7和11以及13和17以及19,5和7以及11和13以及17和19以及23等等。八生素数的概念:若有八个素数,其中有四对素数的差为2,有四对素数的差为4时或者其中有三对素数的差为2,有四对素数的差为4时,这样的八个素数称为八生素数。如:3和5以及7和11以及13和17以及19和23。由全体奇数组成的集合

4、,称为奇数集合。记为「G」。定义1:奇数集合「G」中(除1外),不能被3整除的整数,称为特异奇数。如:5,7,11,13,17,19,23,25,29,……。定义2:由全体特异奇数组成的集合,称为特异奇数集合。记为〈G〉。定理1:任一特异奇数均可表为6k+1或6k-1的形式,k∈N,k>0;〈G〉={5,7,11,13,…,(6n-1),(6n+1),…}。证明:因为集合「G」中能被3整除的整数均可表为3(2m-1)的形式,m∈N,m>0。令3(2m-1)+2=6m-1,3(2m-1)-2=6(m-1)+1,对于[6(m-1)+1],m>1。则(6m-1)和

5、[6(m-1)+1]均为不能被3整除的奇数,根据定义1,(6m-1)为特异奇数,[6(m-1)+1](m>1)也为特异奇数。故定理1成立。定理2:若p为素数(除2和3外),那么p∈〈G〉。证明:因为p为素数(除2和3外),所以p是奇数,p不能被3整除,根据定义1,p∈〈G〉。定义3:我们把既是特异奇数,又是素数的整数,称为特异素数。如:5,7,11,13,17,19等等。定义4:我们把既是特异奇数,又是合数的整数,称为特异奇合数。如:25,35,49,55,77等等。定理3:对于任一特异奇合数a,a均可表为下列三种形式之一:36(1)a=36kh-6k-6h

6、+1,(2)a=36kh+6k+6h+1,(3)a=36kh+6k-6h-1,其中k∈N,h∈N,k>0,h>0。证明:对于任一特异奇合数a,a总可以分解为两个特异奇数的乘积,我们令a=bc,根据定理1,b=6k+1或6k-1,k∈N,k>0,c=6h+1或6h-1,h∈N,h>0。则有情形:(1)a=(6k-1)(6h-1)=36kh-6k-6h+1,(2)a=(6k+1)(6h+1)=36kh+6k+6h+1,(3)a=(6k+1)(6h-1)=36kh-6k+6h-1,(4)a=(6k-1)(6h+1)=36kh+6k-6h-1。因为{36kh+6k-

7、6h-1∣k,h=1、2、3、…、n、…}={36kh-6k+6h-1∣k,h=1、2、3、…、n、…},故定理3成立。定理4:对于某一特异奇数a,关于下列不定方程:36xy-6x-6y+1=a(1)36xy+6x+6y+1=a(2)36xy+6x-6y-1=a(3)若不定方程(1),(2),(3)中至少有一个不定方程有正整数解,那么特异奇数a为特异奇合数。证明:假设不定方程36xy-6x-6y+1=a有正整数解,不妨令x=k,y=h,k∈N,h∈N,k>0,h>0,则a=36kh-6k-6h+1。根据定理3,那么特异奇数a为特异奇合数。同理可证其它情形。故

8、定理4成立。定理5:对于某一特异奇数a,关于下列不定

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