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1、判别孪生三生四生五生六生素数的初等证明 务川县实验学校王若仲（王洪）摘要:运用特异奇合数的性质，探讨如何判别孪生素数、三生素数、四生素数、五生素数、六生素数、七生素数、八生素数。关键词：特异奇数特异奇合数孪生素数孪生素数的概念：当两个素数的差为2时，这样的两个素数称为孪生素数。如：3和5，5和7，11和13，17和19，29和31等等。三生素数的概念：若有三个素数，其中有两个素数的差为2，有两个素数的差为4时，这样的三个素数称为三生素数。如：3和5以及7，5和7以及11，11和13以及17，17和19以及23等等。四生素数的概念：若有四个素数
2、，其中有两对素数的差为2，有两个素数的差为4时或者其中有两对素数的差为4，有一对素数的差为2时，这样的四个素数称为四生素数。如：5和7以及11和13，11和13以及17和19，13和17以及19和23等等。五生素数的概念：若有五个素数，其中有两对素数的差为2，有两对素数的差为4时，这样的五个素数称为五生素数。如：7和11以及13以及17和19，11和13以及17和19以及23等等。六生素数的概念：若有六个素数，其中有三对素数的差为2，有两对素数的差为4时或者其中有三对素数的差为4，有两对素数的差为2时，这样的六个素数称为六生素数。如：3和5以及7和11以及1
3、3和17，5和7以及11和13以及17和19，7以及11和13以及17和19以及23等等。七生素数的概念：若有七个素数，其中有四对素数的差为2，有三对素数的差为4时或者其中有三对素数的差为2，有三对素数的差为4时，这样的七个36素数称为七生素数。如：3和5以及7和11以及13和17以及19，5和7以及11和13以及17和19以及23等等。八生素数的概念：若有八个素数，其中有四对素数的差为2，有四对素数的差为4时或者其中有三对素数的差为2，有四对素数的差为4时，这样的八个素数称为八生素数。如：3和5以及7和11以及13和17以及19和23。由全体奇数组成的集合
4、，称为奇数集合。记为「G」。定义1：奇数集合「G」中（除1外），不能被3整除的整数，称为特异奇数。如：5，7，11，13，17，19，23，25，29，……。定义2：由全体特异奇数组成的集合，称为特异奇数集合。记为〈G〉。定理1:任一特异奇数均可表为6k+1或6k－1的形式,k∈N,k＞0；〈G〉={5，7，11，13，…，(6ｎ－1)，(6ｎ+1)，…}。证明:因为集合「G」中能被3整除的整数均可表为3(2m-1)的形式，m∈N，m＞0。令3(2m-1)+2=6m-1,3(2m-1)-2=6(m-1)+1,对于[6(m-1)+1]，m＞1。则(6m-1)和
5、[6(m-1)+1]均为不能被3整除的奇数,根据定义1,(6m-1)为特异奇数，[6(m-1)+1]（m＞1）也为特异奇数。故定理1成立。定理2:若p为素数(除2和3外),那么p∈〈G〉。证明:因为p为素数(除2和3外),所以p是奇数,p不能被3整除,根据定义1,p∈〈G〉。定义3：我们把既是特异奇数,又是素数的整数,称为特异素数。如:5，7，11，13，17，19等等。定义4：我们把既是特异奇数,又是合数的整数,称为特异奇合数。如:25,35,49,55,77等等。定理3:对于任一特异奇合数ａ,ａ均可表为下列三种形式之一:36(1)ａ=36kh-6k-6h
6、+1，(2)ａ=36kh+6k+6h+1，(3)ａ=36kh+6k-6h-1，其中k∈N,h∈N,k＞0,h＞0。证明:对于任一特异奇合数ａ,ａ总可以分解为两个特异奇数的乘积,我们令ａ=ｂｃ,根据定理1,ｂ=6k+1或6k－1,k∈N,k＞0,ｃ=6h+1或6h－1,h∈N,h＞0。则有情形：(1)ａ=(6k－1)(6h－1)=36kh-6k-6h+1,（2）ａ=(6k+1)(6h+1)=36kh+6k+6h+1,（3）ａ=(6k+1)(6h-1)=36kh-6k+6h-1,（4）ａ=(6k-1)(6h+1)=36kh+6k-6h-1。因为{36kh+6k-
7、6h-1∣k,h=１、２、３、…、n、…}={36kh-6k+6h-1∣k,h=１、２、３、…、n、…},故定理3成立。定理4:对于某一特异奇数ａ,关于下列不定方程:36xy-6x-6y+1=ａ(1)36xy+6x+6y+1=ａ(2)36xy+6x-6y-1=ａ(3)若不定方程(1),(2),(3)中至少有一个不定方程有正整数解,那么特异奇数ａ为特异奇合数。证明:假设不定方程36xy-6x-6y+1=ａ有正整数解,不妨令x=k,y=h,k∈N,h∈N,k＞0,h＞0,则ａ=36kh-6k-6h+1。根据定理3,那么特异奇数ａ为特异奇合数。同理可证其它情形。故
8、定理4成立。定理5:对于某一特异奇数ａ,关于下列不定
