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1、“孪生素数猜想”证明务川自治县实验学校王若仲（王洪）贵州564300摘要：对于“孪生素数猜想”，我们探讨一种简捷的初等证明方法，要证明孪生素数对无穷的情形，我们可以把这样的情形转换到间接地利用奇合数的个数来加以理论分析，从而判定孪生素数对是否无穷。关键词：特异奇数；特异奇合数；孪生素数；孪生素数猜想。引言孪生素数猜想，最初由古希腊数学家欧几里得提出，表述为：在自然数中，存在无穷多个素数p，有（p+2）也是素数。正文孪生素数的概念：当两个素数的差为2时，这样的两个素数称为孪生素数。如：3和5，5和7，11和13，17和19，29和31等等。现在把由全体奇数组成的集合，称为奇数集合。
2、记为G。定义1：奇数集合G中（除1外），不能被3整除的整数，称为特异奇数。如：5，7，11，13，17，19，23，25，29，……。定义2：由全体特异奇数组成的集合，称为特异奇数集合。记为G′。定理1:任一特异奇数均可表为6k+1或6k－1的形式,k∈N,k＞0。证明:因为集合G中能被3整除的整数均可表为3(2m-1)的形式，m∈N，m＞0。则3(2m-1)+2=6m-1,3(2m-1)-2=6(m-1)+1,14对于[6(m-1)+1]，令m＞1。(6m-1)和[6(m-1)+1]均为不能被3整除的奇数,根据定义1,(6m-1)为特异奇数，[6(m-1)+1]（m＞1）为特异
3、奇数。故定理1成立。定义3：我们把既是特异奇数,又是素数的整数,称为特异素数。如:5，7，11，13，17，19等等。定义4：我们把既是特异奇数,又是合数的整数,称为特异奇合数。如:25,35,49,55,77等等。定理2:对于任一特异奇合数ａ,ａ均可表为下列三种形式之一:(1)ａ=36kh-6k-6h+1，(2)ａ=36kh+6k+6h+1，(3)ａ=36kh+6k-6h-1，其中k∈N,h∈N,k＞0,h＞0。证明:对于任一特异奇合数ａ,ａ总可以分解为两个特异奇数的乘积,我们令ａ=ｂｃ,根据定理1,ｂ=6k+1或6k－1,k∈N,k＞0,ｃ=6h+1或6h－1,h∈N,h＞0
4、。则有：(1)、ａ=(6k－1)(6h－1)=36kh-6k-6h+1,（2）、ａ=(6k+1)(6h+1)=36kh+6k+6h+1,（3）、ａ=(6k+1)(6h-1)=36kh-6k+6h-1,（4）、ａ=(6k-1)(6h+1)=36kh+6k-6h-1。因为{36kh+6k-6h-1/k,h=１、２、３、…、n、…}={36kh-6k+6h-1/k,h=１、２、３、…、n、…},故定理2成立。定理3:对于特异奇数ａ和ｂ,ａ=6k－1,ｂ=6k+1,k∈N,k＞0,14关于下列不定方程:6xy-x-y=k(1)6xy+x+y=k(2)6xy+x-y=k(3)若不定方程(1
5、),(2),(3)均无正整数解,那么特异奇数ａ和ｂ为孪生素数。证明:假定特异奇数ａ和ｂ不为孪生素数，因为ａ=6k－1,ｂ=6k+1,k∈N,k＞0,那么特异奇数ａ和ｂ中至少有一个特异奇数为特异奇合数，(Ⅰ)我们不妨设特异奇数ｂ为特异奇合数,根据定理2,我们令ｂ=36pq-6p-6q+1,p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,又令x=p,y=q,说明不定方程(1)有正整数解，这与题设产生矛盾。(Ⅱ)我们还是不妨设特异奇数ｂ为特异奇合数,根据定理3,我们令ｂ=36pq+6p+6q+1,p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,又令x=p,y=q,说明不定方程(2)有正整数解，这与题设产生矛盾。(Ⅲ)
6、我们不妨设特异奇数ａ为特异奇合数,根据定理2,我们令ａ=36pq+6p-6q+1,p∈N,q∈N,p＞0，q＞0,又令x=p,y=q,说明不定方程(3)有正整数解，这与题设产生矛盾。故定理3成立。定义5：我们把既是奇数又是合数的正整数，称为奇合数。引理1：对于任一正整数M（M＞2），关于某一奇素数p，p＜M，设集合{p，2p，3p，…，mp}中奇数的总个数与集合{1，2，3，4,5,6，…，M}中正整数的总个数的比值为t，则：（1）、当mp=M时，t=1÷p；14（2）、当mp≠M时，t＜1÷p。其中mp为该形式下不大于正整数M的最大正整数。证明：因为集合{p，2p，3p，…，m
7、p}中共有ｍ个奇数，集合{1，2，3，4,5,6，…，M}中共有M个正整数，那么集合{p，2p，3p，…，mp}中奇数的总个数与集合{1，2，3，4,5,6，…，M}中正整数的总个数的比值t为下列情形之一：（ⅰ）、当mp=M时，t=m÷（mp）=1÷p；（ⅱ）、当mp≠M时，因为mp为该形式下不大于正整数M的最大正整数，那么mp＜M，而t=m÷M＜m÷（mp）＝1÷p。综上所述，引理1成立。引理2：对于一个相当大的正整数M，关于任一小于正整数M的奇素数p，设集合{p，2p，3p，
