八上第02章实数

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1、实数一、要求1.分清有理数和无理数。2.掌握“平方根和立方根"。3.掌握实数的计算。二、知识点1、有理数：整数和分数统称为有理数。有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。p、qq即任何一个有理数总可以写成两个整数的比（其中p,q1即p、q互质）。p2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。3、平方根：（1）算术平方根：如果一个正数的平方等于a，那么这个数就是a的算术平方根。x0,若x2a,那么x是a的算术平方根，2即记为a，其中根指数2可以省略。简记作a，读作“根号a”。规定：0的算术平方根是0，即00.（2）平方根：如果一个数

2、的平方等于a，那么这个数就是a的平方根。2若xa,那么x是a的平方根。即求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。说明：①一个正数有两个平方根，一个是算术平方根a，另一个是-a，它们互为相反数。这两个平方根合起来可以记作a,读作“正、负根号a”；②正数有两个平方根；0只有一个平方根，就是它本身0；负数没有平方根；③由于平方和开平方互为逆运算，因此我们可以利用平方运算来求一个数的平方根，亦可以用平方运算来检验所求的的平方根是否正确。（2）平方根的性质：22①aa；aa（其中a0）②算术平方根a具有双重非负性：a0，a0；3、立方根：3若xa,（1）立方

3、根：如果一个数的立方等于a，那么这个数就是a的立方根。即那么x3就是a的立方根，记为a，其中根指数3不能省略，读作“三次根号a”。求一个数a的平方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数。说明：①每一个数都有且只有一个立方根；②正数的平方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数；③由于立方和开立方互为逆运算，因此我们可以利用立方运算来求一个数的立方根，亦可以用立方运算来检验所求的的立方根是否正确。（2）立方根的性质：3333①aa；②-aa。4、平方根与立方根的区别与联系：区别：①平方根的根指数2可以省略，而立方根的根指数3不能省略；②只有非负数才有平方根，而任何数都有立

4、方根；③一个正数的平方根有两个，一个数的立方根只有一个。联系：①它们都与相应的乘方运算互为逆运算；②0的平方根和立方根都是0本身；5、实数：有理数和无理数统称为实数。（1）实数的分类正整数整数0有理数负整数有限小数或无限循环小数按概念分：实数正分数小数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数正整数正有理数正实数正分数正无理数按性质分：实数0负整数负有理数负实数负分数负无理数（2）相关概念①相反数：实数的相

5、反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是零)．从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称．a(a0)②绝对值：

6、a

7、0(a0)，从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与a(a0)原点的距离。1③倒数：实数a(a≠0)的倒数是(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零没有倒数．a（3）实数与数轴的关系实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以在数轴上找到表示它的点；反过来，数轴上每一个点都表示一个实数。说明：对于数轴上的任意两点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；所有正数大于0；所有负数小于0；任意正数大于所有负数；两个负数

8、，绝对值大的数反而小。（3）实数的运算有理数的运算法则和运算律同样适用于实数，包括运算顺序（在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面．）。在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零）、乘方物种运算都可以进行。在做开方时，要注意正实数和零能开平方，也能开立方，负实数不能开平方。（4）实数有下列重要性质：q1、有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数的形式；无理数是pqp、qp0无限不循环小数，不能写成分数的形式，这里是互质的整数，且。p2、有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具

9、有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数。经典例题：基础：平方根与立方根1、平方根等于本身的实数是_________。42、16的算术平方根是_________；1的立方根是_________;的平方根是923、化简：34、下列说法错误的是（）A.1的平方根是1B.–1的立方根是－1C.2是2的平方根D.0的平方根01115、下列说法：①－64的立方根是4，②49的算数平方根是±7,③的立方根是,④273161的平方根是,其