第五章 C0有限元

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1、0第五章C有限元§5.1一维弹性杆纵向振动基本方程5.1.1前言随着计算机技术的飞跃发展,有限元法在结构分析中得到非常广泛的应用,已成为一种普通的结构分析方法.有限元分析方法的基本思想,追朔其历史，始于桁架分析。桁架分析采用的是力法，将桁架分解为二力杆，建立它的节点平衡条件来求其内力。其指导思想是先拆后装，首先将结构分解为若干个元件（构件），对它们进行力学分析，然后应用平衡条件和连续条件把它们组装起来，建立基本方程来求解。有限元法发展的重要标志则是与计算机及计算技术的紧密结合和位移法的广泛使用，特别是在二维、三维结构分析中的

2、应用。现已大大超越结构分析的范畴而成为一种普遍的数理方程近似解法。下面从最简单的弹性杆纵向振动开始介绍结构系统动力学有限元法。5.1.2弹性杆的力学分析一维弹性杆是平直的细长体，它的横截面的尺寸比长度小得多，因而它的构形用沿其长度方向的纵轴(x轴)坐标来描述，故是一种一维构件。弹性杆只产生沿长度方向的纵向位移（拉伸或压缩），它产生的是纵向振动。关于弹性杆纵向振动在第三章§3.1节里已作了分析，下面再作一下简单的回顾。弹性杆所产生的纵向位移设为u=u(x)(5.1)它是弹性杆振动分析的基本函数。弹性杆不产生其他位移分量。弹性杆

3、的轴向应变是∂uεxx=(5.2)∂x无其他应变分量。根据虎克定律，弹怀杆的轴向应力是σxx=Eεxx(5.3)无其他应力分量。由于横截面上应力是均匀分布的，弹性杆的轴向拉力为∂uN=σxxA=EA(5.4)∂x其中A是弹性杆的横截面面积。根据达伦培尔原理，弹性杆的平衡条件为2∂N∂u+fx=ρA(5.5)∂x2∂t其中ρ是弹性杆的质量密度，fx是作用在弹性杆单位长度上的轴向外力。弹性杆纵向振动的控制方程是2∂∂u∂u(EA)+fx=ρA(5.6)∂x∂x2∂t定义微分算子2∂∂u∂Lk=(EA),Lm=−ρA2(5.7)∂

4、x∂x∂t称Lk为弹性杆刚度微分算子，它的形位空间中具有二阶导数。称Lm为弹性杆惯性微分算子，它在空间域内具有二阶导数。控制方程(5.6)在形位空间和时间域内都是二阶导数的线性偏微分方程，它的定解条件是：（1）在杆端x=0和x=L处的边界条件∂uu=u或EA=N(5.8)∂x（2）在初始时刻t=0时的初始条件∂uu=u0或=v0(5.9)∂t这就是弹性杆纵向振动建模问题的完整提法。5.1.3弹性杆的能量分析弹性杆纵向振动也可以用能量方法进行分析。弹性杆的弹性应变能是L1L1∂u2Ui=∫σxxεxxAdx=∫EA()dx(5

5、.10)0202∂x其动量是L1∂u2T=∫ρA()dx(5.11)02∂t外力功是LLWe=∫fxudx+Nu

6、0(5.12)0于是，由哈密尔顿作用量原理给出弹性杆的能量变分关系式tδ∫[(T−Ui)+We]dt=0tL1∂u2∂u2Lδ∫∫{[ρA()−EA()+fxu]dx+Nu

7、0}dt=0(5.13)002∂x∂x这相当于静力学的最小位能原理，是位移协调型能量变分式推广到动力学问题的结果。应用变分法对能量变分式（5.13）作变分驻值运算给出的欧拉方程及定解条件，即弹性杆纵向振动的控制方程。对(5.13)式作变分运算

8、tL∂u∂(δu)∂u∂(δu)L∫∫[ρA−EA+fxδu]dx+Nδu

9、0}dt=0(5.14)00∂t∂t∂t∂t分别在形位空间和时间域内进行分部积分，给出2tL∂δu∂u[(EA)−ρA+fx]dxdt∫0∫0∂x∂x∂t2(5.15)tL∂uL∂ut+∫∫(N−EA)δu

10、0dt+ρAδu

11、0dx=000∂x∂x由于虚位移δu的任意性，得出（1）欧拉方程2∂δu∂u(EA)−ρA+fx=0(5.16)∂x∂x2∂t它就是弹性杆纵向振动基本方程（5.6）式。（2）边界条件（a）强制边界条件（基本变量位移的边界条件）u

12、=u(5.17)它迫使边界上虚位移δu等于零。(b)自然边界条件（导出变量力的边界条件）∂uEA=N(5.18)∂x它可在能量变分原理内自然得到满足。（3）时端条件（在初始时刻(t=0)和终了时刻(t=tm)时的运动状态）∂uu=ut(x),=vt(x)(5.19)∂x以上分析给出了5.1.2节力学分析得出完全相同的结果。能量分析具有更为丰富的内涵。控制方程(5.16)的解函数u(x,t)必须是在形位空间和时间域内两阶导数存在，并满足全部边界条件（5.17）或(5.18)，包括时端条件（5.19），2称之为比较函数。它们张成

13、一个函数空间，又称之为能量内积空间，记为KB。真实解是满足控制方程（5.17）的能量内积空间内的解函数。由（5.7）式定义的刚度微分算子Lk可用位移函数u计算相应的弹性fx=Lk(u)。另取一个比较函数v，定义应变能内积为L∂∂u(v,Lk(u))=∫v(EA)dx(5.20)0∂x∂x将