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1、27October2008北京大学工学院1第四章线性方程组(Systemoflinearequations)第14次课27October2008北京大学工学院§5线性方程组有解的判别定理线性方程组(4.1)⎧axax++?+=axb,1111221nn1⎪⎪axax++?+=axb,2112222nn2⎨⎪......⎪axax+++?axb=.⎩mm1122mnns有解的充分必要条件是27October2008北京大学工学院31)右端项的列向量β可以由系数矩阵的列向量组α1,α2…αn线性表示2)向量组α1,α2,…αn,β与向量组α1,α2,…αn等价3)向量组α1,α2,…α
2、n,β与向量组α1,α2,…αn秩相等4)增广矩阵与系数矩阵的列秩相等。⎛⎞aa1112?ab1n1⎛⎞aa1112?a1n⎜⎟⎜⎟aa?abaa?a⎜⎟12222n2(4.28)⎜⎟12222n⎜⎟@@@@⎜⎟@@@(4.29)⎜⎟⎜⎟aa?abaa?a⎝⎠s12ssns⎝⎠s12ssn5)增广矩阵与系数矩阵的秩相等27October2008北京大学工学院4这些条件与从前的Gauss消元法是一致的。（通过行变换与换列）Gauss消元法可以得到如下的阶梯形方程组(echelonform)（可能不完全准确）⎧cxcx++??++cx+=cxd1111221rr1nn1⎪cx++??c
3、x++cx=d⎪2222rn2nn2⎪??⎪⎪cxxcd++?=(4.30)rrrrnnr⎨0=d⎪r+1⎪00=⎪⎪??⎪⎩00=27October2008北京大学工学院5写成对应的矩阵形式就是：增广矩阵可化为⎛⎞cc??ccd11121rn11⎜⎟0ccc??d⎜⎟222rn22⎜⎟@@B@@@⎜⎟00??ccd⎜⎟rrrnr(4.30)⎜⎟00??00dr+1⎜⎟⎜⎟00??000⎜⎟@@@@@⎜⎟⎜⎟⎝⎠00??000当d为零时，增广矩阵的秩与系数矩阵的秩相同（有解），否则r+1增广矩阵的秩多1个（无解）。27October2008北京大学工学院6§6线性方程组解的结构我们
4、将方程组(4.1)的解(k,k,…,k,…,k)视为n维向量空间中的向量，12rn并称为解向量。设方程组(4.1)有解，矩阵的秩为r，且设前r个“方程”线性无关，按线性方程组的Gauss消去法可得⎧cxcx++??++cxcx+cx++=cxd,1111221rr1,r++111r,r++22r1nn1⎪⎪cx++??cxcx++cx++cxd=,2222rr2,r++1r12,r++2r22nn2(4.31)⎨⎪......⎪cxcx+++cx?+cxd=.⎩rrrrr,11++rrr,2++r2rnnr27October2008北京大学工学院7也即⎧cxcx++??+=−cxd
5、cx−cx−−cx,1111221rr11,r++1r11,r++2r21nn⎪⎪cx++??cxdcx=−−cx−−cx,2222rr22,r++1r12,r++2r22nn(4.32)⎨⎪......⎪cxdcx=−−cx−−?cx.⎩rrrrrr,11++rrr,2++r2rnn(3.32)作为x,x,…,x的一个方程组，它的系数矩阵之行列式不为12r零。在给定x,x,…,x情形之下，有惟一解(Cramer法r+1r+2n则））27October2008北京大学工学院8在非齐次项全为零（即方程退化为齐次方程）时，很容易证明1.两解之和还是解2.一解之倍数还是解也就是说，齐次线
6、性方程组的解的线性组合仍然是齐次线性方程组的解。下面的问题就是：是否所有的解都可以通过“某一些”解表示出来？27October2008北京大学工学院9定义：（基础解系）齐次方程组的一组解η,η,…,η称为基础解系，如果12t•η,η,…,η可以线性表示齐次方程组的任意解；12t•η,η,…,η线性无关。12t例：⎧xxxx+−−=301234⎪⎨33xxxx−−+=401234⎪⎩xxxx+−−=598012343337系数矩阵的秩为2，解是xxx134=−,xxx234=+24243337相应的基础解系为ηη==(,,1,0),(−,,0,1)12224427October200
7、8北京大学工学院10定理：设齐次线性方程组⎧axax++?+=ax0,1111221nn⎪⎪axax+++?ax=0,2112222nn⎨......(3.34)⎪⎪axax+++?ax=0.⎩mm1122mnn的系数矩阵的秩为r。如r
