第四章 最值问题和最优存贮

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1、第四章最值问题和最优存贮最值问题是一个十分普遍的实际问题，在中学数学里已经有二次函数最值问题的讨论。在这里将进一步讨论其建模问题和解法，并把它用于解最优存储问题。§1最值问题一、最优化在经济学中的应用例1设有一张边长为a的正方形铁皮，在四个角上裁去四个正方形，组成一个方形的容器。问裁去多少时所组成的方形容器体积最大？设裁去小正方形的边长为，容器的体积为，则（），令得由于铁盒必然存在最大容积，而在区间内仅有一个驻点，因此，当时，铁盒有最大容积且为。注：可以证明，若能断定实际问题一定存在最大值（或最小值），且在所论区间内部有唯一的驻点，则可断言在该驻

2、点处一定取得相应的最大值（或最小值）二、最优化在生态学中的应用在生态学中，最优化有广泛的应用，下面将简单介绍一个例子8例2设鱼群再生的产曲线，为保证鱼群的数量维持稳定，在捕鱼时必须注意适度捕捞，问鱼群的数量控制在多大时，才能使我们获取最大的持续捕获量？分析：首先，我们对再生产曲线的实际意义作简略解释，是鱼群的自然增长率，一般可以认为。但是，由于自然资源的限制，当鱼群的数量过大时，其生长环境变会恶化，导致鱼群的增长率降低，为此，我们乘上一个修正因子，其中是自然环境中所能负荷的最大鱼群数量，于是假设一鱼群是一种可再生的资源，若目前鱼群的总数为千克，经

3、过一年的成长与繁殖，第二年鱼群的总数变为千克，反映与之间的相互关系的曲线称为再生产曲线，记为假设二每年的捕获量为，则第二年的鱼群总量为故现求的最大值：，解得的驻点，8由于，所以是的极大值点。因此，鱼群规模控制在时，可以使我们获得最大的持续捕获量：三、最优化在医学中的应用在医药学中，最优化有广泛的应用，下面将介绍有关的例子人在睡眠时，如果我们假定在靠近气管壁的气流是很慢的以及管壁具有完全弹性，则可以得知气管中气流何时流速最大。例3设表示一个人在休息（而不是睡着）时的气管半径（单位：厘米），表示睡眠时的气管半径（），而表示从收缩到时气管中空气的平均流

4、速。可以用方程来模拟睡眠中的气流速度，其中是一个正常数，它依赖于气管壁的厚度。现在假设一个人开始睡熟，他的气管以使得呼出的气流的速度为最大的方式收缩，求证：当气管半径收缩（即）时达到最大。这是一个极值问题由，解方程，得驻点或（舍去），又8所以是的最大值点，即当气管半径收缩时达到最大。这个事实已基本上被用光拍摄的睡眠时的照片所证实。例4肺内压力的增加可以引起咳嗽，而肺内压力的增加伴随着气管半径的缩小，我们把气管理想化为一个圆柱形的管子，单位时间流过管子的液体的体积为，其中为常数，为正常状态下（或无压力时）气管的半径，那么减小半径（即咳嗽时收缩气管）

5、是促进了还是阻碍了空气在气管里的流动？分析：从两方面来分析这个问题（1）当为多大时最大，由或（舍去）当时，；当时，，可见当时单位时间内流过气管的气体体积最大。（2）如果用来表示空气在气管中流动的速率，显然，则，由，或（舍去）同样可知时，速度可取得最大值。8从上述两方面来看，咳嗽时气管收缩（在一定范围内）有助咳嗽，它促进气管内空气的流动，从而使气管中的异物能较快地被清除掉。作业某人利用原材料每天要制作5个贮藏橱。假设外来木材的运送成本为6000元，而贮存每个单位材料的成本为每天8元。为使他在两次运送期间的制作周期内平均每天的成本最小，每次他应该订多

6、少原材料以及多长时间订一次货？（17天，85单位）8§2最优存贮的数学模型一、问题提出一种简单的而常见的不允许缺货的存贮问题。设一家商店每天销售件商品，商店进货是一种周期性的行为：每隔天进货一次，进货量为，进货一次的手续费为，货可立即运到商店。一件商品存贮一天的费用为，问多少天进货一次最经济？进货量为多少？二、模型的建立根据规定的周期性进货方式，作如下的假设：假设一在一个周期内，库存量呈线性递减。假设二这里不考虑进货时购买商品所花费用。这家商店的库存量与时间的关系由图4.2表示。Q0T2T3T4TT2T3T4T根据假设，考察一个周期内的费用：开始

7、时库存量为Q，到第T天库存量降为0，因此在周期内平均库存量为。由于存贮了T天，存贮费用为，加上手续费，总费用为8。故每天的平均费用为注意到每天销售R件商品，进货Q件在T天售完，显然有于是每天的费用可化为使每天的费用最小的进货周期称为最优进货周期，对应的进货量为最佳时货量。为了求出问题的最优值，把上式配成如下的完全平方：①由①可知，当且仅当②时，每天的平均费用达到最小值。最佳进货量为用②可以求出最优进货周期，用③可以求得最佳进货量。一、数值求解例1、一鞋店平均每天卖出鞋110双，批发手续费每次200元，每双鞋存贮一天的保管费为0.01元。问该商店多

8、少天批发一次最好，进货量为多少？在本题中，，由②得最优进货周期（天）由③得最佳进货量（双）8每19天进货一次，进货量为2090双最好。例